Examkin

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

47 soru

Tüm türler47Çoktan seçmeli22Sayısal25
Soru 1Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
h(x)=f(x2⋅g(x))h(x) = f(x^2 \cdot g(x))
biçiminde tanımlanıyor.
g(2)=1g(2) = 1, g′(2)=−3g'(2) = -3 ve f′(4)=5f'(4) = 5 olduğuna göre, h′(2)h'(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -40

Cevap

-40
Bileşke fonksiyonun türevi ve çarpım türevi kuralları sırasıyla uygulanarak h′(x)=f′(x2⋅g(x))⋅(2x⋅g(x)+x2⋅g′(x))h'(x) = f'(x^2 \cdot g(x)) \cdot (2x \cdot g(x) + x^2 \cdot g'(x)) ifadesi elde edilir. x=2x = 2 için verilen değerler yerine konulduğunda doğru sonuç −40-40 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon türevi kuralını uygulayarak h′(x)h'(x) ifadesini yazın.
h′(x)=f′(x2⋅g(x))⋅(x2⋅g(x))′h'(x) = f'(x^2 \cdot g(x)) \cdot (x^2 \cdot g(x))'
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi, içteki fonksiyonun türeviyle çarpılmalıdır.
2
İçteki x2⋅g(x)x^2 \cdot g(x) ifadesinin türevi için çarpım kuralını uygulayın.
(x2⋅g(x))′=2x⋅g(x)+x2⋅g′(x)(x^2 \cdot g(x))' = 2x \cdot g(x) + x^2 \cdot g'(x)
İki fonksiyonun çarpımının türevi; birincinin türevi çarpı ikinci, artı ikincinin türevi çarpı birinci şeklinde hesaplanır.
3
Türev fonksiyonunda x=2x = 2 yazarak verilen değerleri yerine yerleştirin.
h′(2)=f′(4⋅g(2))⋅(4⋅g(2)+4⋅g′(2))h'(2) = f'(4 \cdot g(2)) \cdot (4 \cdot g(2) + 4 \cdot g'(2))
h′(2)=f′(4⋅1)⋅(4⋅1+4⋅(−3))h'(2) = f'(4 \cdot 1) \cdot (4 \cdot 1 + 4 \cdot (-3))
h′(2)=f′(4)⋅(4−12)h'(2) = f'(4) \cdot (4 - 12)
h′(2)=5⋅(−8)=−40h'(2) = 5 \cdot (-8) = -40
Soruda verilen g(2)=1g(2) = 1, g′(2)=−3g'(2) = -3 ve f′(4)=5f'(4) = 5 değerlerini kullanarak h′(2)h'(2) değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır: (f(u(x)))′=f′(u(x))⋅u′(x)(f(u(x)))' = f'(u(x)) \cdot u'(x). Eğer içteki fonksiyon çarpım durumundaysa çarpım türevi kuralı da kullanılmalıdır.
Soru 2Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları

f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x
g(x)=3x−2g(x) = 3x - 2

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, (f∘g)′(2)(f \circ g)'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Bileşke fonksiyonun türev kuralı doğru bir şekilde uygulandığında elde edilen 27 sayısıdır.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı olan (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) ifadesinde verilen fonksiyonların değerleri yerine yazıldığında, (f∘g)′(2)=f′(g(2))⋅g′(2)=f′(4)⋅g′(2)=9⋅3=27(f \circ g)'(2) = f'(g(2)) \cdot g'(2) = f'(4) \cdot g'(2) = 9 \cdot 3 = 27 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralını (zincir kuralını) belirlemek
(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.
2
g(x)=3x−2g(x) = 3x - 2 fonksiyonunun türevini almak ve x=2x = 2 noktasındaki değerini bulmak
g′(x)=3g'(x) = 3 ve dolayısıyla g′(2)=3g'(2) = 3 olur.
Zincir kuralında çarpım durumunda olan içteki fonksiyonun türev değerini bulmak gerekir.
3
g(2)g(2) değerini hesaplamak
g(2)=3(2)−2=4g(2) = 3(2) - 2 = 4 olur.
Dıştaki fonksiyonun türevinin hangi noktada değerlendirileceğini bulmak için içteki fonksiyonun değerine ihtiyaç vardır.
4
f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x fonksiyonunun türevini almak ve bulduğumuz g(2)=4g(2) = 4 noktasındaki değerini hesaplamak
f′(x)=2x+1f'(x) = 2x + 1 ve f′(4)=2(4)+1=9f'(4) = 2(4) + 1 = 9 olur.
Zincir kuralındaki f′(g(2))f'(g(2)) teriminin değerini belirlemek gerekir.
5
Elde edilen değerleri türev formülünde yerine koyarak bileşke fonksiyonun türevini hesaplamak
(f∘g)′(2)=f′(g(2))⋅g′(2)=f′(4)⋅g′(2)=9⋅3=27(f \circ g)'(2) = f'(g(2)) \cdot g'(2) = f'(4) \cdot g'(2) = 9 \cdot 3 = 27 olur.
Formüldeki tüm bileşenler hesaplanmış olup son çarpım işlemiyle sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3Soru →

Türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için

f(x)=g(x2−x)f(x) = g(x^2 - x)

eşitliği verilmiştir.

g′(2)=5g'(2) = 5 olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Türevlenebilir iki fonksiyon arasındaki ilişki zincir kuralı ile türetilip verilen değer yerine yazıldığında aranan türev değeri 15 olarak bulunur.
Verilen f(x)=g(x2−x)f(x) = g(x^2 - x) eşitliğinde her iki tarafın türevi alındığında, zincir kuralı gereği f′(x)=g′(x2−x)⋅(2x−1)f'(x) = g'(x^2 - x) \cdot (2x - 1) elde edilir. Bu eşitlikte x=2x = 2 yazıldığında f′(2)=g′(2)⋅(2⋅2−1)=g′(2)⋅3f'(2) = g'(2) \cdot (2 \cdot 2 - 1) = g'(2) \cdot 3 olur. g′(2)=5g'(2) = 5 değeri yerine yazıldığında doğru yanıt 5⋅3=155 \cdot 3 = 15 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının türevi alınır.
f′(x)=g′(x2−x)⋅(2x−1)f'(x) = g'(x^2 - x) \cdot (2x - 1)
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı gereği dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.
2
Türev eşitliğinde x=2x = 2 değeri yerine yazılır.
f′(2)=g′(2)⋅3f'(2) = g'(2) \cdot 3
x=2x = 2 değeri için x2−xx^2 - x ifadesi 2 değerini alır ve iç kısmın türevi olan 2x−12x - 1 ifadesi 3 olur.
3
Verilen g′(2)=5g'(2) = 5 değeri yerine yazılarak hesaplama tamamlanır.
f′(2)=15f'(2) = 15
f′(2)=5⋅3f'(2) = 5 \cdot 3 çarpım işlemiyle sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevinde zincir kuralının uygulanması
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 4Soru →

Tanımlı olduğu aralıklarda türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için

f(g(x))=3x2−5x+2f(g(x)) = 3x^2 - 5x + 2
g(x)=x+1x−2g(x) = \frac{x+1}{x-2}

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -75

Cevap

-75
Bileşke fonksiyonun türev kuralına göre, [f(g(x))]′=f′(g(x))⋅g′(x)[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) olur. Eşitliğin sağ tarafının türevi ise 6x−56x - 5 olarak bulunur. g(x)=2g(x) = 2 koşulunu sağlayan değer x=5x = 5 olduğundan, türev denkleminde x=5x = 5 yazıldığında f′(2)⋅g′(5)=25f'(2) \cdot g'(5) = 25 elde edilir. Bölümün türevi kuralıyla g′(5)=−13g'(5) = -\frac{1}{3} olarak hesaplanır. Buradan f′(2)⋅(−13)=25  ⟹  f′(2)=−75f'(2) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 25 \implies f'(2) = -75 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=2g(x) = 2 eşitliğini sağlayan xx değerini bulmak.
x=5x = 5
f′(2)f'(2) değerini elde etmek için bileşke fonksiyonun içindeki g(x)g(x) ifadesinin 22 olması gerekir. x+1x−2=2  ⟹  x+1=2x−4  ⟹  x=5\frac{x+1}{x-2} = 2 \implies x+1 = 2x-4 \implies x = 5 bulunur.
2
f(g(x))=3x2−5x+2f(g(x)) = 3x^2 - 5x + 2 eşitliğinde her iki tarafın xx değişkenine göre türevini almak.
f′(g(x))⋅g′(x)=6x−5f'(g(x)) \cdot g'(x) = 6x - 5
Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) gereğince sol tarafın türevi alınır.
3
g(x)=x+1x−2g(x) = \frac{x+1}{x-2} fonksiyonunun türevini alıp x=5x = 5 değerini yerine yazmak.
g′(5)=−13g'(5) = -\frac{1}{3}
Bölümün türevi kuralı uygulanır: g′(x)=1⋅(x−2)−(x+1)⋅1(x−2)2=−3(x−2)2g'(x) = \frac{1 \cdot (x-2) - (x+1) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2}. Buradan g′(5)=−3(5−2)2=−13g'(5) = \frac{-3}{(5-2)^2} = -\frac{1}{3} elde edilir.
4
Türev denkleminde x=5x = 5 yazarak f′(2)f'(2) değerini çekmek.
f′(2)=−75f'(2) = -75
f′(g(5))⋅g′(5)=6(5)−5  ⟹  f′(2)⋅(−13)=25  ⟹  f′(2)=−75f'(g(5)) \cdot g'(5) = 6(5) - 5 \implies f'(2) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 25 \implies f'(2) = -75 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türeviyle çarpılması unutulmamalıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 5Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları
f(3x−1)=g(x2+1)+x2−xf(3x - 1) = g(x^2 + 1) + x^2 - x
eşitliğini sağlamaktadır.

g′(2)=4g'(2) = 4 olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İstenen türev değeri 3 olarak bulunur.
Verilen eşitliğin her iki tarafının türevi alındığında zincir kuralı gereğince 3⋅f′(3x−1)=2x⋅g′(x2+1)+2x−13 \cdot f'(3x - 1) = 2x \cdot g'(x^2 + 1) + 2x - 1 elde edilir. f′(2)f'(2) değerine ulaşmak için x=1x = 1 yazıldığında 3⋅f′(2)=2⋅g′(2)+13 \cdot f'(2) = 2 \cdot g'(2) + 1 bağıntısı oluşur. g′(2)=4g'(2) = 4 değeri yerine yazıldığında 3⋅f′(2)=93 \cdot f'(2) = 9 ve buradan f′(2)=3f'(2) = 3 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının xx değişkenine göre türevi alınır.
3⋅f′(3x−1)=2x⋅g′(x2+1)+2x−13 \cdot f'(3x - 1) = 2x \cdot g'(x^2 + 1) + 2x - 1
Bileşke fonksiyon türev kuralları ve zincir kuralı gereği, içteki fonksiyonların türevleri çarpım olarak dışarıya yazılır.
2
f′(2)f'(2) değerini elde etmek için xx yerine yazılması gereken değer bulunur.
3x−1=2  ⟹  x=13x - 1 = 2 \implies x = 1
Türev ifadesinde f′f' fonksiyonunun içinin 2 olması istenir.
3
Türev eşitliğinde x=1x = 1 yazılarak işlem tamamlanır.
3⋅f′(2)=2⋅g′(2)+1  ⟹  3⋅f′(2)=2⋅4+1=9  ⟹  f′(2)=33 \cdot f'(2) = 2 \cdot g'(2) + 1 \implies 3 \cdot f'(2) = 2 \cdot 4 + 1 = 9 \implies f'(2) = 3
g′(2)=4g'(2) = 4 değeri yerine yazılarak bilinmeyen f′(2)f'(2) değeri çekilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanır: (u(v(x)))′=u′(v(x))⋅v′(x)(u(v(x)))' = u'(v(x)) \cdot v'(x).
Soru 6Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
g(x)=x3+1g(x) = x^3 + 1
f′(2)=5f'(2) = 5
eşitlikleri veriliyor. Buna göre, (f∘g)′(1)(f \circ g)'(1) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Bileşke fonksiyonun türev kuralına göre doğru cevap 15 olmalıdır.
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı gereğince (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) formülü kullanılır. Soruda verilen g(x)=x3+1g(x) = x^3 + 1 fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki değeri g(1)=2g(1) = 2 ve türevi g′(x)=3x2g'(x) = 3x^2 olduğundan g′(1)=3g'(1) = 3 olarak elde edilir. Bu değerler formülde yerine yazıldığında (f(g(1)))′=f′(2)⋅g′(1)=5⋅3=15(f(g(1)))' = f'(2) \cdot g'(1) = 5 \cdot 3 = 15 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevini veren kuralı (zincir kuralını) yazmak.
(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
Soruda istenen (f∘g)′(1)(f \circ g)'(1) değerini hesaplamak için genel türev ifadesini elde etmeliyiz.
2
x=1x = 1 için içteki fonksiyonun değerini (g(1)g(1)) ve türevinin değerini (g′(1)g'(1)) hesaplamak.
g(1)=13+1=2g(1) = 1^3 + 1 = 2 ve g′(x)=3x2  ⟹  g′(1)=3⋅12=3g'(x) = 3x^2 \implies g'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3 olarak bulunur.
Bileşke fonksiyon türevinde kullanılacak olan bileşenlerin sayısal değerlerini bulmak.
3
Hesaplanan değerleri türev formülünde yerine yazıp sonucu bulmak.
(f∘g)′(1)=f′(g(1))⋅g′(1)=f′(2)⋅g′(1)=5⋅3=15(f \circ g)'(1) = f'(g(1)) \cdot g'(1) = f'(2) \cdot g'(1) = 5 \cdot 3 = 15 bulunur.
Türev ifadesinde tüm bilinenleri yerine yerleştirerek nihai sayısal sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve dıştaki fonksiyonun türevi alınarak içi aynen bırakıldıktan sonra içteki fonksiyonun türeviyle çarpılır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 7Soru →
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
g(3)=2g(3) = 2
g′(3)=4g'(3) = 4
f′(2)=5f'(2) = 5
bilgileri veriliyor.
h(x)=f(g(x2−x+1))h(x) = f(g(x^2 - x + 1))
olduğuna göre, h′(2)h'(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Doğru cevap 60 değeridir.
Zincir kuralına göre h(x)=f(g(x2−x+1))h(x) = f(g(x^2 - x + 1)) fonksiyonunun türevi h′(x)=f′(g(x2−x+1))⋅g′(x2−x+1)⋅(2x−1)h'(x) = f'(g(x^2 - x + 1)) \cdot g'(x^2 - x + 1) \cdot (2x - 1) olarak bulunur. Burada x=2x=2 yazıldığında h′(2)=f′(g(3))⋅g′(3)⋅3h'(2) = f'(g(3)) \cdot g'(3) \cdot 3 elde edilir. Verilen değerler yerine yerleştirildiğinde h′(2)=5⋅4⋅3=60h'(2) = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen h(x)=f(g(x2−x+1))h(x) = f(g(x^2 - x + 1)) fonksiyonunun türevini almak için zincir kuralını uygulayın.
h′(x)=f′(g(x2−x+1))⋅g′(x2−x+1)⋅(2x−1)h'(x) = f'(g(x^2 - x + 1)) \cdot g'(x^2 - x + 1) \cdot (2x - 1) ifadesi elde edilir.
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştan içe doğru her bir fonksiyonun içinin türevi çarpan olarak eklenmelidir.
2
Elde edilen türev fonksiyonunda xx yerine 2 yazarak ifadeyi düzenleyin.
h′(2)=f′(g(22−2+1))⋅g′(22−2+1)⋅(2⋅2−1)=f′(g(3))⋅g′(3)⋅3h'(2) = f'(g(2^2 - 2 + 1)) \cdot g'(2^2 - 2 + 1) \cdot (2 \cdot 2 - 1) = f'(g(3)) \cdot g'(3) \cdot 3 olur.
h′(2)h'(2) değerini bulmak için fonksiyondaki xx değişkenleri yerine 2 yazılmalıdır.
3
Soruda verilen g(3)=2g(3) = 2, g′(3)=4g'(3) = 4 ve f′(2)=5f'(2) = 5 değerlerini türev ifadesinde yerine yazarak hesaplamayı tamamlayın.
h′(2)=f′(2)⋅4⋅3=5⋅4⋅3=60h'(2) = f'(2) \cdot 4 \cdot 3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 olarak bulunur.
Verilen sayısal değerlerin yerine konulmasıyla nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı
Soru 8Soru →
Her uu ve xx gerçel sayısı için türevlenebilen y=f(u)y = f(u) ve u=g(x)u = g(x) fonksiyonları sırasıyla
y=u2+uy = u^2 + u
u=3x−2u = 3x - 2
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, yy değişkeninin xx değişkenine göre türevinin x=1x = 1 için değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

y değişkeninin x değişkenine göre türevinin x = 1 için değeri 9'dur.
Zincir kuralı uygulanarak dy/dx = (dy/du) * (du/dx) şeklinde türev ifadesi yazılır. x = 1 için u = 1 elde edilir. dy/du türevinde u yerine 1 yazıldığında 3, du/dx türevinden ise 3 değeri bulunur. Bu iki değerin çarpımı olan 9, y'nin x'e göre türevidir.

Adım Adım Çözüm

1
Zincir kuralı formülünü oluşturmak.
dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
y değişkeni doğrudan x'e bağlı olmayıp u aracılığıyla bağlı olduğundan, x'e göre türevi bulmak için zincir kuralı uygulanmalıdır.
2
y'nin u'ya göre ve u'nun x'e göre türevlerini ayrı ayrı hesaplamak.
dydu=2u+1\frac{dy}{du} = 2u + 1 ve dudx=3\frac{du}{dx} = 3
Zincir kuralı formülünde çarpım durumundaki türev bileşenlerini elde etmek gerekir.
3
x = 1 noktasındaki u değerini bulmak.
u=3(1)−2=1u = 3(1) - 2 = 1
y'nin u'ya göre türevinde u yerine yazılacak değeri belirlemek gerekir.
4
Bulunan değerleri zincir kuralı formülünde yerine koyarak türev değerini hesaplamak.
dydx=(2⋅1+1)⋅3=3⋅3=9\frac{dy}{dx} = (2 \cdot 1 + 1) \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9
x = 1 noktasında elde edilen türev bileşenlerini çarparak nihai dy/dx sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi ve zincir kuralı (chain rule) kullanılarak türev hesabı.

Alternatif Yöntem

y = u^2 + u fonksiyonunda u yerine 3x - 2 yazılarak y doğrudan x cinsinden y = (3x-2)^2 + (3x-2) şeklinde ifade edilebilir. Bu ifadenin x'e göre türevi alındığında dy/dx = 2(3x-2) * 3 + 3 elde edilir. x = 1 yazıldığında dy/dx = 2(1) * 3 + 3 = 9 bulunur.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 9Soru →
Tanımlı ve türevlenebilir y=f(u)y = f(u) ve u=g(x)u = g(x) fonksiyonları için
y=u2−3u+1y = u^2 - 3u + 1
u=x2+5u = \sqrt{x^2 + 5}
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, dydx\frac{dy}{dx} ifadesinin x=2x = 2 noktasındaki değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Aranan t��rev değeri 2'dir.
Zincir kuralı formülü olan dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} ifadesinde ilgili türev değerleri sırasıyla dydu=3\frac{dy}{du} = 3 ve dudx=23\frac{du}{dx} = \frac{2}{3} olarak bulunur. Bu iki değer çarpıldığında doğru sonuç 2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Zincir kuralı ilişkisini yazma
dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
yy değişkeninin xx'e göre türevi, aradaki ortak uu değişkenine bağlı olarak zincir kuralı yardımıyla elde edilir.
2
x=2x = 2 için uu değerini hesaplama
u=3u = 3
u=x2+5u = \sqrt{x^2 + 5} ifadesinde x=2x = 2 yazılarak ilgili uu değeri tespit edilir.
3
yy'nin uu'ya göre türevini alıp u=3u = 3 noktasındaki değerini bulma
dydu=3\frac{dy}{du} = 3
y=u2−3u+1y = u^2 - 3u + 1 fonksiyonunun uu değişkenine göre türevi 2u−32u - 3 olur. u=3u = 3 için 2(3)−3=32(3) - 3 = 3 elde edilir.
4
uu'nun xx'e göre türevini alıp x=2x = 2 noktasındaki değerini bulma
dudx=23\frac{du}{dx} = \frac{2}{3}
u=x2+5u = \sqrt{x^2 + 5} fonksiyonunun xx'e göre türevi zincir kuralı gereği 12x2+5⋅2x=xx2+5\frac{1}{2\sqrt{x^2+5}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+5}} olur. x=2x = 2 yazıldığında 23\frac{2}{3} değeri bulunur.
5
Türev değerlerini çarparak sonucu hesaplama
2
Bulunan türev değerleri zincir kuralı formülünde yerine konulup çarpılır: 3⋅23=23 \cdot \frac{2}{3} = 2.

Anahtar Kavram

Bağlı değişkenlerde türev hesabı için zincir kuralının uygulanması.
Soru 10Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları
f(x)=x2−3xf(x) = x^2 - 3x
g(x)=2x+1g(x) = 2x + 1
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, (f∘g)′(1)(f \circ g)'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Bileşke fonksiyonun türevi 6 değerine eşittir.
Bileşke fonksiyonun türev kuralına göre (f∘g)′(1)=f′(g(1))⋅g′(1)(f \circ g)'(1) = f'(g(1)) \cdot g'(1) eşitliği geçerlidir. g(1)=3g(1) = 3, g′(1)=2g'(1) = 2 ve f′(3)=3f'(3) = 3 değerleri yerlerine yazıldığında çarpımın sonucu 6 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralı yazılır.
(f∘g)′(1)=f′(g(1))⋅g′(1)(f \circ g)'(1) = f'(g(1)) \cdot g'(1)
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı gereği dıştaki fonksiyonun türevi içteki fonksiyonun değerinde hesaplanır ve içteki fonksiyonun türevi ile çarpılır.
2
g(1)g(1) ve g′(1)g'(1) değerleri hesaplanır.
g(1)=3g(1) = 3 ve g′(1)=2g'(1) = 2
g(x)=2x+1g(x) = 2x + 1 fonksiyonunda x=1x = 1 yazıldığında g(1)=3g(1) = 3 ve türevi alındığında g′(x)=2g'(x) = 2 olup g′(1)=2g'(1) = 2 bulunur.
3
f′(x)f'(x) bulunur ve f′(g(1))f'(g(1)) değeri hesaplanır.
f′(g(1))=f′(3)=3f'(g(1)) = f'(3) = 3
f(x)=x2−3xf(x) = x^2 - 3x fonksiyonunun türevi f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3 olup, x=3x = 3 noktasındaki değeri f′(3)=2(3)−3=3f'(3) = 2(3) - 3 = 3 olarak elde edilir.
4
Elde edilen değerler çarpılarak sonuç bulunur.
(f∘g)′(1)=3⋅2=6(f \circ g)'(1) = 3 \cdot 2 = 6
Zincir kuralı formülünde bulduğumuz değerler yerine yazılıp çarpma işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi ve zincir kuralı
Soru 11Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı, türevlenebilir ve artan bir ff fonksiyonu her xx gerçel sayısı için
f(f(x))=x3+x−1f(f(x)) = x^3 + x - 1
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, h(x)=f(x3⋅f(x))h(x) = f(x^3 \cdot f(x)) olarak tanımlanan hh fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
Verilen f(f(x)) = x^3 + x - 1 eşitliğinde x = 1 yazılarak f(1) = 1 değeri elde edilir. Ardından eşitliğin her iki tarafının türevi alınıp x = 1 konulduğunda f'(f(1)) * f'(1) = 4 denklemiyle (f'(1))^2 = 4 bulunur. Fonksiyonun artan olmasından ötürü f'(1) = 2 olarak seçilir. h(x) = f(x^3 * f(x)) ifadesinin türevi zincir ve çarpım kurallarıyla alınarak x = 1 için h'(1) = f'(f(1)) * (3 * f(1) + f'(1)) = 2 * (3 * 1 + 2) = 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
x = 1 yazarak f(1) değerini elde ediniz.
f(1) = 1
f(f(x)) = x^3 + x - 1 eşitliğinde x = 1 yazılırsa f(f(1)) = 1 elde edilir. f fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde artan (ve dolayısıyla bire bir) olduğundan f(1) = 1 olmalıdır. Aksi halde f(1) = k > 1 için f(k) > f(1) yani 1 > k çelişkisi, f(1) = k < 1 için f(k) < f(1) yani 1 < k çelişkisi doğardı.
2
Eşitliğin her iki tarafının x'e göre türevini alarak f'(1) değerini bulunuz.
f'(1) = 2
f(f(x)) = x^3 + x - 1 eşitliğinin iki tarafının türevi zincir kuralı ile alınırsa f'(f(x)) * f'(x) = 3x^2 + 1 olur. x = 1 için f'(f(1)) * f'(1) = 4 elde edilir. f(1) = 1 olduğundan (f'(1))^2 = 4 bulunur. f fonksiyonu artan olduğu için türevi negatif olamaz. Bu nedenle f'(1) = 2 olarak elde edilir.
3
h(x) = f(x^3 * f(x)) fonksiyonunun türevini bulunuz.
h'(x) = f'(x^3 * f(x)) * (3x^2 * f(x) + x^3 * f'(x))
Bileşke fonksiyon türevi (zincir kuralı) ve içteki ifadenin türevi için çarpım kuralı uygulanır.
4
Elde edilen türev denkleminde x = 1 yazarak sonucu hesaplayınız.
h'(1) = 10
h'(1) = f'(1^3 * f(1)) * (3 * 1^2 * f(1) + 1^3 * f'(1)) = f'(f(1)) * (3 * f(1) + f'(1)) yazılır. f(1) = 1 ve f'(1) = 2 değerleri yerlerine yazıldığında h'(1) = f'(1) * (3 * 1 + 2) = 2 * 5 = 10 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türeviyle çarpım unutulmamalıdır.
Soru 12Soru →
Her xx gerçel sayısı için türevlenebilen ff ve gg fonksiyonları arasında
f(g(x)+x)=x3−x2+8x−2f(g(x) + x) = x^3 - x^2 + 8x - 2
eşitliği geçerlidir.

g(1)=2g(1) = 2 ve g′(1)=2g'(1) = 2 olduğuna göre, f′(3)f'(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Doğru cevap 3 değerini içeren seçenektir.
Verilen fonksiyonel eşitlikte her iki tarafın türevi alındığında bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) gereğince sol tarafta f'(g(x) + x) * (g'(x) + 1) ifadesi elde edilir. x = 1 değeri için g(1) = 2 ve g'(1) = 2 değerleri yerine yazıldığında f'(3) * 3 elde edilir. Sağ tarafın türevi olan 3x^2 - 2x + 8 ifadesinde x = 1 yazıldığında 9 elde edilir. Buradan 3 * f'(3) = 9 ve f'(3) = 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
f′(g(x)+x)⋅(g′(x)+1)=3x2−2x+8f'(g(x) + x) \cdot (g'(x) + 1) = 3x^2 - 2x + 8
Bileşke fonksiyon türevi kuralı (f(u(x)))' = f'(u(x)) * u'(x) uygulanmıştır.
2
Elde edilen türev denkleminde x = 1 yazılır.
f′(g(1)+1)⋅(g′(1)+1)=3(1)2−2(1)+8f'(g(1) + 1) \cdot (g'(1) + 1) = 3(1)^2 - 2(1) + 8
Bize verilen ve sorulan değerlerin elde edilmesi için uygun nokta seçilmiştir.
3
Verilen g(1) = 2 ve g'(1) = 2 değerleri denklemde yerine yazılır.
f′(2+1)⋅(2+1)=3−2+8  ⟹  f′(3)⋅3=9f'(2 + 1) \cdot (2 + 1) = 3 - 2 + 8 \implies f'(3) \cdot 3 = 9
Bilinmeyen f'(3) değerini yalnız bırakmak için aritmetik işlemler yürütülür.
4
Denklemin her iki tarafı 3'e bölünerek f'(3) değeri yalnız bırakılır.
f′(3)=3f'(3) = 3
İstenen türev değerine ulaşılmıştır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uyarınca içteki ifadenin türeviyle çarpmayı unutmamak gerekir.
Soru 13Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir yy, uu ve tt değişkenleri arasında
y=u3−4u2+6uy = u^3 - 4u^2 + 6u
u=4t3−2tu = 4t^3 - 2t
t=x2−3t = x^2 - 3
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, x=2x = 2 için dydx\frac{dy}{dx} türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

80
Zincir kuralı kullanılarak dy/dx = (dy/du) * (du/dt) * (dt/dx) eşitliği elde edilir. x = 2 değeri için t = 1 ve u = 2 bulunur. Bu noktalardaki türevler sırasıyla 4, 10 ve 2 olarak hesaplanır. Bu değerlerin çarpımı olan 80 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin verilen x=2x = 2 noktasındaki karşılık gelen değerlerini hesaplamak
x=2  ⟹  t=1x = 2 \implies t = 1 ve t=1  ⟹  u=2t = 1 \implies u = 2
Zincir kuralında türevlerin hangi noktalarda değerlendirileceğini belirlemek için aracı değişkenlerin değerlerini bilmemiz gerekir.
2
Her bir değişkenin bir sonrakine göre türev fonksiyonunu bulmak ve ilgili noktadaki değerini hesaplamak
dtdx∣x=2=4\frac{dt}{dx}\Big|_{x=2} = 4, dudt∣t=1=10\frac{du}{dt}\Big|_{t=1} = 10, dydu∣u=2=2\frac{dy}{du}\Big|_{u=2} = 2
Zincir kuralı bileşenlerini elde etmek için her katmanın türevini alırız.
3
Zincir kuralı formülünü uygulamak ve değerleri çarpmak
dydx=2⋅10⋅4=80\frac{dy}{dx} = 2 \cdot 10 \cdot 4 = 80
Zincir kuralı gereği, bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre türevi, aradaki türevlerin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Zincir Kuralı ile türev hesaplama
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 14Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff fonksiyonu
f(x)=x3−2x2+1f(x) = x^3 - 2x^2 + 1
ve x>−13x > -\frac{1}{3} için tanımlı gg fonksiyonu
g(x)=3x+1g(x) = \sqrt{3x + 1}
biçiminde veriliyor.

Buna göre, h(x)=(f∘g)(x)h(x) = (f \circ g)(x) olarak tanımlanan hh fonksiyonunun x=8x = 8 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16.5

Cevap

Bileşke fonksiyonun türevi kuralına göre h′(8)=16,5h'(8) = 16,5 olarak elde edilir.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı uygulandığında h′(8)=f′(g(8))⋅g′(8)h'(8) = f'(g(8)) \cdot g'(8) eşitliği yazılır. g(8)=5g(8) = 5 ve g′(8)=0,3g'(8) = 0,3 değerleri ile f′(5)=55f'(5) = 55 değeri yerine yazılıp çarpıldığında doğru yanıt olan 16,516,5 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralını belirleme
h′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) olup x=8x = 8 için h′(8)=f′(g(8))⋅g′(8)h'(8) = f'(g(8)) \cdot g'(8) olur.
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı gereği dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.
2
g(8)g(8) ve g′(8)g'(8) değerlerini hesaplama
g(8)=3⋅8+1=25=5g(8) = \sqrt{3 \cdot 8 + 1} = \sqrt{25} = 5 ve g′(x)=323x+1g'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}} olduğundan g′(8)=3225=310=0,3g'(8) = \frac{3}{2\sqrt{25}} = \frac{3}{10} = 0,3 bulunur.
Formülde kullanılmak üzere içteki fonksiyonun x=8x=8 noktasındaki değeri ve türev değeri hesaplanır.
3
f′(x)f'(x) fonksiyonunu bulma ve f′(g(8))f'(g(8)) değerini hesaplama
f′(x)=3x2−4xf'(x) = 3x^2 - 4x olduğundan, f′(g(8))=f′(5)=3(5)2−4(5)=75−20=55f'(g(8)) = f'(5) = 3(5)^2 - 4(5) = 75 - 20 = 55 bulunur.
Dıştaki fonksiyonun türevinde, içteki fonksiyonun görüntüsü olan 55 değeri yerine yazılır.
4
Değerleri bileşke türev formülünde yerine yazarak sonucu bulma
h′(8)=f′(g(8))⋅g′(8)=55⋅0,3=16,5h'(8) = f'(g(8)) \cdot g'(8) = 55 \cdot 0,3 = 16,5 bulunur.
Elde edilen ara değerler çarpılarak bileşke fonksiyonun türev değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi hesaplanıp içine içteki fonksiyon yazılır ve bu değer içteki fonksiyonun türevi ile çarpılır.
Soru 15Soru →

f(x)=x3+2xf(x) = x^3 + 2x ve g(x)=3x−1g(x) = 3x - 1 fonksiyonları tanımlanıyor. Buna göre, (f∘g)′(1)(f \circ g)'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

Bileşke fonksiyonun türevinin x=1x = 1 noktasındaki değeri 42'dir.
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uyarınca içteki fonksiyonun türevi olan g′(1)=3g'(1) = 3 çarpanı ile dıştaki türev değeri olan f′(g(1))=14f'(g(1)) = 14 çarpılır ve sonuç 42 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon türevi için zincir kuralı formülünü belirleme
(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
İki fonksiyonun bileşkesinin türevi alınırken zincir kuralı uygulanır.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki değerini ve türevini hesaplama
g(1)=2g(1) = 2 ve g′(1)=3g'(1) = 3
g(x)=3x−1g(x) = 3x - 1 lineer fonksiyonunda x=1x = 1 yazılır ve fonksiyonun türevi alınarak türev değeri bulunur.
3
f′(x)f'(x) fonksiyonunu bulma ve x=g(1)=2x = g(1) = 2 noktasındaki değerini hesaplama
f′(2)=14f'(2) = 14
f(x)=x3+2xf(x) = x^3 + 2x türevi f′(x)=3x2+2f'(x) = 3x^2 + 2 olup, x=2x = 2 için bu değer 1414'tür.
4
Elde edilen değerleri zincir kuralında yerine koyarak sonuca ula��ma
(f∘g)′(1)=14⋅3=42(f \circ g)'(1) = 14 \cdot 3 = 42
Zincir kuralı gereği dıştaki türev değeri ile içteki türev değeri çarpılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır: (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x).
Soru 16Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
f(g(x))=x2+2x+1f(g(x)) = x^2 + 2x + 1
g(f(x))=2x2+1g(f(x)) = 2x^2 + 1
eşitlikleri sağlanmaktadır.

f(2)=2f(2) = 2 ve f′(2)=4f'(2) = 4 olduğuna göre, f′(9)f'(9) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3'tür.
Bileşke fonksiyonların türevleri zincir kuralı uyarınca alınmalıdır. İkinci denklemin türevi olan g'(f(x)) * f'(x) = 4x eşitliğinde verilen f'(2) = 4 değeri yerine koyulduğunda g'(2) = 2 bulunur. İlk denklemin türevi olan f'(g(x)) * g'(x) = 2x + 2 eşitliğinde g(2) = 9 ve g'(2) = 2 değerleri kullanıldığında f'(9) * 2 = 6 elde edilir ve buradan f'(9) = 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
g(f(x)) = 2x^2 + 1 eşitliğinde x = 2 yazarak g(2) değerini bulmak.
g(2) = 9
İlk eşitlikte f'(g(2)) terimini elde etmek ve g(2) değerinin neye eşit olduğunu saptamak.
2
f(g(x)) = x^2 + 2x + 1 eşitliğinin türevini alıp x = 2 yazmak.
f'(9) * g'(2) = 6
İstenen f'(9) terimini içeren bir türev denklemi oluşturmak.
3
g(f(x)) = 2x^2 + 1 eşitliğinin türevini alıp x = 2 yazmak.
g'(2) * f'(2) = 8
Bilinmeyen g'(2) değerini bulmamızı sağlayacak ikinci bir türev denklemi elde etmek.
4
f'(2) = 4 değerini g'(2) * f'(2) = 8 denkleminde yerine yazıp g'(2) değerini çözmek.
g'(2) = 2
f'(9) değerine ulaşmak için zincir kuralından gelen içteki fonksiyonun türev değerini hesaplamak.
5
g'(2) = 2 değerini f'(9) * g'(2) = 6 denkleminde yerine yazıp f'(9) değerini bulmak.
f'(9) = 3
Soruda bizden istenen nihai türev değerini hesaplamak.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralının uygulanması ve fonksiyon değerlerinin yerine yazılması.
Soru 17Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları her xx gerçel sayısı için
f(g(2x−1)+x2)=3x3−2x2+5x+1f(g(2x - 1) + x^2) = 3x^3 - 2x^2 + 5x + 1
eşitliğini sağlamaktadır.

g(1)=5g(1) = 5 ve g′(1)=32g'(1) = \frac{3}{2} olduğuna göre, f′(6)f'(6) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen f'(6) değeri 2'dir.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) doğru bir şekilde uygulanıp içteki fonksiyonların türevleri (özellikle g(2x-1) türevi alınırken gelen 2 çarpanı) hesaba katıldığında ve verilen değerler x = 1 için yerine yazıldığında doğru sonuç elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
f'(g(2x - 1) + x^2) * (2 * g'(2x - 1) + 2x) = 9x^2 - 4x + 5
Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralını uygulamak ve türev ilişkisini kurmak için.
2
f' ifadesinin parantez içini 6 yapmak için x = 1 seçilir.
x = 1 için g(2x - 1) + x^2 = g(1) + 1 = 5 + 1 = 6 elde edilir.
Soruda g(1) = 5 değeri verildiğinden, ifadenin içini 6 yapan uygun x değerini bulmak için.
3
x = 1, g(1) = 5 ve g'(1) = 3/2 değerleri türev denklemine yazılarak f'(6) hesaplanır.
f'(6) * 5 = 10 ise f'(6) = 2 bulunur.
Türev denklemindeki tüm bilinenleri yerine yazarak bilinmeyen f'(6) değerini yalnız bırakmak için.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türevi ile çarpılır. f(u(x)) türevi f'(u(x)) * u'(x) şeklindedir.
Soru 18Soru →
f(x)=(x2+2x)3f(x) = (x^2 + 2x)^3

olduğuna göre, f′(1)f'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 108

Cevap

Doğru cevap 108'dir.
Bileşke fonksiyon türevi alınırken zincir kuralı uygulanır. f(x)=(x2+2x)3f(x) = (x^2 + 2x)^3 fonksiyonunun türevi f′(x)=3(x2+2x)2⋅(2x+2)f'(x) = 3(x^2 + 2x)^2 \cdot (2x + 2) şeklindedir. Burada x=1x = 1 yazıldığında f′(1)=3⋅(1+2)2⋅(2+2)=3⋅9⋅4=108f'(1) = 3 \cdot (1 + 2)^2 \cdot (2 + 2) = 3 \cdot 9 \cdot 4 = 108 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon türev kuralını uygulayarak fonksiyonun türevini alın.
f′(x)=3(x2+2x)2⋅(2x+2)f'(x) = 3(x^2 + 2x)^2 \cdot (2x + 2)
Zincir kuralı gereğince dıştaki fonksiyonun türevi alınırken içteki ifadenin türevi ile çarpılması gerekir.
2
Türev fonksiyonunda xx yerine 11 yazın.
f′(1)=3(12+2⋅1)2⋅(2⋅1+2)f'(1) = 3(1^2 + 2 \cdot 1)^2 \cdot (2 \cdot 1 + 2)
f′(1)f'(1) değerini bulmak için türev fonksiyonundaki xx değişkenlerinin yerine 11 koyulmalıdır.
3
İşlemleri tamamlayarak nihai sonucu hesaplayın.
108
3⋅9⋅4=1083 \cdot 9 \cdot 4 = 108 çarpımı yapılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralı uygulanır: [g(x)n]′=n⋅g(x)n−1⋅g′(x)[g(x)^n]' = n \cdot g(x)^{n-1} \cdot g'(x)
Soru 19Soru →

ff gerçel sayılar kümesinde türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere,

h(x)=f(x2+x)h(x) = f(x^2 + x)

eşitliği veriliyor.

f′(2)=5f'(2) = 5 olduğuna göre, h′(1)h'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15 değeri doğrudur.
Bileşke fonksiyon türev kuralına göre, h(x)=f(g(x))h(x) = f(g(x)) ise h′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) olur. Burada g(x)=x2+xg(x) = x^2 + x olarak seçildiğinde g′(x)=2x+1g'(x) = 2x + 1 olur. Dolayısıyla h′(x)=f′(x2+x)⋅(2x+1)h'(x) = f'(x^2 + x) \cdot (2x + 1) elde edilir. x=1x = 1 için h′(1)=f′(2)⋅3h'(1) = f'(2) \cdot 3 olur. Bize f′(2)=5f'(2) = 5 olarak verildiğinden, h′(1)=5⋅3=15h'(1) = 5 \cdot 3 = 15 bulunur. Bu nedenle 15 cevabı doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
h′(x)=f′(x2+x)⋅(x2+x)′h'(x) = f'(x^2 + x) \cdot (x^2 + x)' yani h′(x)=f′(x2+x)⋅(2x+1)h'(x) = f'(x^2 + x) \cdot (2x + 1) elde edilir.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) gereği, dıştaki fonksiyonun türevi alındıktan sonra içteki fonksiyonun türevi ile çarpılması gerekir.
2
Elde edilen türev denkleminde x yerine 1 yazılır.
h′(1)=f′(12+1)⋅(2⋅1+1)h'(1) = f'(1^2 + 1) \cdot (2 \cdot 1 + 1) yani h′(1)=f′(2)⋅3h'(1) = f'(2) \cdot 3 elde edilir.
Bizden istenen h′(1)h'(1) değerini hesaplamak için denklemde x=1x = 1 noktası değerlendirilir.
3
Verilen f′(2)=5f'(2) = 5 değeri yerine yazılarak çarpma işlemi tamamlanır.
h′(1)=5⋅3=15h'(1) = 5 \cdot 3 = 15 bulunur.
Soruda verilen sayısal değerler kullanılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken, dıştaki fonksiyonun türevi içine dokunulmadan yazılır ve bu ifade içteki fonksiyonun türeviyle çarpılır.
Soru 20Soru →

Türevlenebilir ff ve gg fonksiyonlarının bazı xx değerleri için kendilerinin ve türevlerinin değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

xxf(x)f(x)f′(x)f'(x)g(x)g(x)g′(x)g'(x)
2211443355
3355−2-22244

h(x)=(f∘g)(x)h(x) = (f \circ g)(x) olduğuna göre, h′(2)h'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -10

Cevap

Bileşke fonksiyonun türevi ve zincir kuralı doğru uygulandığında elde edilen −10-10 değeridir.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı h′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) biçimindedir. Tablodaki değerlere göre g(2)=3g(2) = 3 ve g′(2)=5g'(2) = 5 olduğundan h′(2)=f′(3)⋅5h'(2) = f'(3) \cdot 5 haline gelir. Yine tablodan f′(3)=−2f'(3) = -2 değeri yerine konulduğunda h′(2)=−2⋅5=−10h'(2) = -2 \cdot 5 = -10 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralını yazın.
h′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
Zincir kuralı gereğince h(x)=(f∘g)(x)h(x) = (f \circ g)(x) fonksiyonunun türevi, dıştaki fonksiyonun türevinin içteki fonksiyon değerindeki karşılığı ile içteki fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir.
2
Türev fonksiyonunda xx yerine 22 yazarak ifadeyi düzenleyin.
h′(2)=f′(g(2))⋅g′(2)h'(2) = f'(g(2)) \cdot g'(2)
x=2x = 2 noktasındaki türev değerini bulmak için fonksiyonda xx yerine 22 yazılır.
3
Tablodan g(2)g(2) ve g′(2)g'(2) değerlerini okuyup yerlerine yazın.
g(2)=3g(2) = 3 ve g′(2)=5g'(2) = 5 olduğundan h′(2)=f′(3)⋅5h'(2) = f'(3) \cdot 5 olur.
x=2x=2 satırındaki g(x)g(x) ve g′(x)g'(x) sütunlarındaki değerler alınmıştır.
4
Tablodan f′(3)f'(3) değerini okuyup işlemi tamamlayın.
f′(3)=−2f'(3) = -2 olduğundan h′(2)=−2⋅5=−10h'(2) = -2 \cdot 5 = -10 bulunur.
x=3x=3 satırındaki f′(x)f'(x) sütunundaki değer alınarak çarpım işlemi gerçekleştirilmiştir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralı uygulanırken dıştaki fonksiyonun türevi içteki fonksiyonun değerinde hesaplanır ve içteki fonksiyonun türeviyle çarpılır.
Sayfa 1 / 3Sonraki
Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin