Türevlenebilir bir g fonksiyonu için g(2) = 3 ve f(x) = x^2 - 3x + 4 olmak üzere, \lim_{x \to 2} \frac{f(x)g(x) - 6}{x - 2} = 11 \neşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, \lim_{h \to 0} \frac{g(2 + 3h) - g(2 - 5h)}{h} limitinin değeri kaçtır?

Türevlenebilir bir g fonksiyonu için g(2) = 3 ve f(x) = x^2 - 3x + 4 olmak üzere, \lim_{x … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Türevlenebilir bir $g$ fonksiyonu için $g(2) = 3$ ve $f(x) = x^2 - 3x + 4$ olmak üzere,

\lim_{x \to 2} \frac{f(x)g(x) - 6}{x - 2} = 11

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre,

\lim_{h \to 0} \frac{g(2 + 3h) - g(2 - 5h)}{h}

limitinin değeri kaçtır?

Cevap: 32

Cevap

Verilen limit ifadesinin türev tanımıyla ilişkisi kurularak çarpımın türevi yardımıyla

g'(2) = 4

bulunur. İstenen limit düzenlendiğinde

8g'(2)

değerine eşit olduğundan sonuç 32'dir.

Limit tanımı gereği,

\lim_{x \to 2} \frac{f(x)g(x) - f(2)g(2)}{x - 2}

ifadesi

(f \cdot g)'(2)

türev değerini verir. Buradan elde edilen denklem çözülerek

g'(2) = 4

bulunur. İstenen limit ifadesi

h \to 0

için

8g'(2)

olarak sadeleşir.

8 \cdot 4

işlemiyle doğru cevap

32

bulunur.

Adım Adım Çözüm

f(2)

değerini hesaplama ve limitin türev tanımıyla ilişkisini kurma

f(2) = 2^2 - 3(2) + 4 = 2

olup

f(2)g(2) = 2 \cdot 3 = 6

elde edilir. Bu durumda verilen limit,

h(x) = f(x)g(x)

çarpım fonksiyonunun

x = 2

noktasındaki türev tanımıdır:

h'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x)g(x) - f(2)g(2)}{x - 2} = 11

Verilen limitin

0/0

belirsizliği içerdiğini görmek ve limit tanımını çarpım fonksiyonunun türevi cinsinden yazmak için.

Çarpımın türevi kuralını uygulayarak

g'(2)

değerini elde etme

h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

olduğundan

h'(2) = f'(2)g(2) + f(2)g'(2) = 11

olur.

f'(x) = 2x - 3 \implies f'(2) = 1

değerini yerine yazarsak:

1 \cdot 3 + 2 \cdot g'(2) = 11 \implies 2g'(2) = 8 \implies g'(2) = 4

bulunur.

g'(2)

değerine ulaşmak için ��arpımın türevi formülünden yararlanmak gerekir.

İstenen limit ifadesini düzenleme

\lim_{h \to 0} \frac{g(2 + 3h) - g(2 - 5h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g(2 + 3h) - g(2) - (g(2 - 5h) - g(2))}{h}

= 3 \cdot \lim_{h \to 0} \frac{g(2 + 3h) - g(2)}{3h} - (-5) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{g(2 - 5h) - g(2)}{-5h}

= 3g'(2) + 5g'(2) = 8g'(2)

Limit ifadesini türevin limit tanımına benzeterek sadeleştirmek için.

Nihai sonucu hesaplama

8g'(2) = 8 \cdot 4 = 32

elde edilir.

Elde edilen

g'(2)

değerini yerine yazarak nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı ve çarpım fonksiyonunun türevi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru