Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Dik koordinat düzleminde, f(x)=−x2+4x+cf(x) = -x^2 + 4x + c fonksiyonunun grafiği olan parabol y-eksenini AA noktasında, x-eksenini ise farklı BB ve CC noktalarında kesmektedir. AA noktasının BB ve CC noktalarına olan uzaklıklarının kareleri toplamı 4040 birim olduğuna göre, cc kaçtır?

  1. A
    2
  2. 3Cevap
  3. C
    4
  4. D
    5
  5. E
    6

Cevap

c sayısının değeri 3'tür.
Doğru olan seçenekteki değer (33), parabolün y-eksenini kestiği noktanın A(0,c)A(0, c) koordinatlarını ve x-eksenini kestiği noktaların kök-katsayı ilişkilerini (x1+x2=4x_1 + x_2 = 4 ve x1x2=−cx_1 x_2 = -c) kullanarak ∣AB∣2+∣AC∣2=x12+x22+2c2=40|AB|^2 + |AC|^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2c^2 = 40 eşitliğini sağlar. Buradan elde edilen c2+c−12=0c^2 + c - 12 = 0 denkleminin kökleri 33 ve −4-4 olup, parabolün x-eksenini iki farklı noktada kesebilmesi için diskriminantın sıfırdan büyük olması (c>−4c > -4) gerektiğinden c=3c = 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
y-eksenini kesim noktasını bulun.
Parabolün y-eksenini kestiği nokta A(0,c)A(0, c) olarak bulunur.
y-ekseni üzerindeki noktaların apsisi sıfırdır, dolayısıyla x=0x = 0 için f(0)=cf(0) = c olur.
2
x-eksenini kesim noktaları için kök-katsayı ilişkilerini yazın.
x1+x2=4x_1 + x_2 = 4 ve x1x2=−cx_1 x_2 = -c elde edilir.
Parabolün x-eksenini kestiği noktalar B(x1,0)B(x_1, 0) ve C(x2,0)C(x_2, 0) ise, x1x_1 ve x2x_2 değerleri −x2+4x+c=0-x^2 + 4x + c = 0 denkleminin kökleridir.
3
İki nokta arasındaki uzaklık formülüyle uzaklıkların karelerini ifade edin.
∣AB∣2=x12+c2|AB|^2 = x_1^2 + c^2 ve ∣AC∣2=x22+c2|AC|^2 = x_2^2 + c^2 olur.
A(0,c)A(0, c) noktasının B(x1,0)B(x_1, 0) ve C(x2,0)C(x_2, 0) noktalarına olan uzaklıklarının kareleri Pythagoras teoremi ile hesaplanır.
4
Verilen toplamı kökler cinsinden yazıp cc değerine bağlı ikinci dereceden denklemi elde edin.
2c2+2c−24=0  ⟹  c2+c−12=02c^2 + 2c - 24 = 0 \implies c^2 + c - 12 = 0 denklemi bulunur.
∣AB∣2+∣AC∣2=x12+x22+2c2=40|AB|^2 + |AC|^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2c^2 = 40 eşitliğinde x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=16+2cx_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 16 + 2c özdeşliği yerine yazılır.
5
Elde edilen denklemi çözüp farklı iki kesim noktası şartını kontrol edin.
c=3c = 3 olarak bulunur.
c2+c−12=0  ⟹  (c+4)(c−3)=0c^2 + c - 12 = 0 \implies (c+4)(c-3) = 0 denkleminin kökleri 33 ve −4-4'tür. Parabolün x-eksenini farklı iki noktada kesmesi için diskriminant Δ=16+4c>0  ⟹  c>−4\Delta = 16 + 4c > 0 \implies c > -4 olmalıdır. Dolayısıyla c=3c = 3 seçilir.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ve ikinci dereceden denklemlerde kök-katsayı ilişkileri

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, parabolün tepe noktasının apsisi r=−b2a=2r = -\frac{b}{2a} = 2 olduğundan parabol x=2x = 2 simetri eksenine göre simetriktir. Kökler simetri eksenine eşit uzaklıkta olduğundan x1=2−kx_1 = 2 - k ve x2=2+kx_2 = 2 + k (k>0k > 0) olarak yazılabilir. Bu durumda x12+x22=(2−k)2+(2+k)2=8+2k2x_1^2 + x_2^2 = (2-k)^2 + (2+k)^2 = 8 + 2k^2 olur. Diğer yandan kökler çarpımı x1x2=4−k2=−c  ⟹  k2=c+4x_1 x_2 = 4 - k^2 = -c \implies k^2 = c + 4 elde edilir. Bu değer yerine yazıldığında x12+x22=8+2(c+4)=2c+16x_1^2 + x_2^2 = 8 + 2(c+4) = 2c + 16 bulunur. Buradan da ∣AB∣2+∣AC∣2=2c+16+2c2=40  ⟹  c2+c−12=0|AB|^2 + |AC|^2 = 2c + 16 + 2c^2 = 40 \implies c^2 + c - 12 = 0 denklemine ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Bu konudan daha fazla soru