Kütlesi M, yarıçapı R olan homojen, ince bir disk, merkezinden geçen ve disk düzlemine dik… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Kütlesi $M$ , yarıçapı $R$ olan homojen, ince bir disk, merkezinden geçen ve disk düzlemine dik eksen etrafında dönmektedir. Bu diskin merkezinden $R/2$ yarıçaplı dairesel bir kısım kesilip çıkarılıyor.

Buna göre, diskin kalan kısmının aynı dönme eksenine göre eylemsizlik momenti kaç $M R^2$ olur?
(Homojen, dolu bir diskin merkezinden geçen dik eksene göre eylemsizlik momenti $I = \frac{1}{2} m r^2$ formülüyle hesaplanır.)

$\frac{15}{32}$ Cevap
B
$\frac{7}{16}$
C
$\frac{3}{8}$
D
$\frac{3}{32}$
E
$\frac{17}{32}$

Cevap

On beş bölü otuz iki olan seçenek doğrudur.

Kalan kısmın eylemsizlik momenti, diskin ilk eylemsizlik momentinden çıkarılan kısmın eylemsizlik momentinin çıkarılmasıyla elde edilir. Alan ve kütle orantısı doğru kurulup çıkarılan parçanın eylemsizlik momenti hesaplandığında sonuç on beş bölü otuz iki çıkar.

Adım Adım Çözüm

Çıkarılan dairesel kısmın kütlesini belirleme.

Çıkarılan kısmın kütlesi

m = \frac{1}{4}M

'dir.

Disk homojen olduğu için kütlesi yüzey alanı ile doğru orantılıdır. Alan yarıçapın karesiyle orantılı olduğundan, yarıçapı

R/2

olan kısmın alanı diskin toplam alanının

\frac{1}{4}

'üdür.

Başlangıçtaki diskin ve çıkarılan kısmın eylemsizlik momentlerini hesaplama.

İlk eylemsizlik momenti

I_1 = \frac{1}{2} M R^2

, çıkarılan kısmın eylemsizlik momenti ise

I_2 = \frac{1}{32} M R^2

olarak bulunur.

Dolu disk için verilen

I = \frac{1}{2} m r^2

formülü kullanılarak; ilk durum için

I_1 = \frac{1}{2} M R^2

ve çıkarılan kısım için

I_2 = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{4} M\right) \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{1}{32} M R^2

hesaplanır.

Kalan kısmın eylemsizlik momentini bulma.

I_{kalan} = \frac{15}{32} M R^2

elde edilir.

Eylemsizlik momenti skaler ve toplanabilir bir büyüklüktür. Dolayısıyla kalan kısmın eylemsizlik momenti, ilk durumdaki eylemsizlik momentinden çıkarılan kısmın eylemsizlik momentinin çıkarılmasıyla bulunur:

I_{kalan} = I_1 - I_2 = \frac{1}{2} M R^2 - \frac{1}{32} M R^2 = \frac{15}{32} M R^2

Anahtar Kavram

Eylemsizlik momentinin kütle dağılımına bağlılığı ve toplanabilirlik (süperpozisyon) özelliği.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru