(a_n) bir gerçel sayı dizisidir. a_n = \frac{1}{\log_2(n^2 + 4n + k) - 3} ifadesi bir gerç… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$(a_n)$ bir gerçel sayı dizisidir.

a_n = \frac{1}{\log_2(n^2 + 4n + k) - 3}

ifadesi bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olduğuna göre, $k$ tam sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevap: -3

k tam sayısının alabileceği en küçük değer -3'tür.

Dizi terimlerinin tanımlı olabilmesi için logaritmanın içi her

n \in \mathbb{Z}^+

için pozitif olmalı ve payda sıfırdan farklı olmalıdır. Parabolün artanlığı analiz edilerek logaritmanın içi için

k \ge -4

koşulu bulunur. Ancak

k = -4

değeri

n = 2

için paydayı sıfır yaptığından elenir ve en küçük uygun değerin

-3

olduğu görülür.

Dizinin tanımlı olması için gerekli koşulları belirleme

Her

n \in \mathbb{Z}^+

için

n^2 + 4n + k > 0

n^2 + 4n + k \neq 8

olmalıdır.

Gerçel sayı dizisinin her terimi tanımlı olmalıdır. Bu yüzden logaritmanın içi pozitif olmalı ve payda sıfırdan farklı olmalıdır.

Logaritmanın içi için tanımlılık sınırını bulma

k \ge -4

n^2 + 4n + k

ifadesi

n \ge 1

için artan olduğundan en küçük değerini

n = 1

noktasında alır.

f(1) > 0 \implies k > -5

elde edilir.

Paydayı sıfır yapan durumları kontrol etme

k = -4

değeri için

n = 2

terimi paydayı sıfır yapar, bu yüzden

k \ge -3

olmalıdır.

n^2 + 4n + k = 8

denkleminin pozitif tam sayılarda kökü bulunmamalıdır.

Koşulları sağlayan en küçük tam sayıyı belirleme

En küçük

k

değeri

-3

olarak bulunur.

k = -3

değeri hem logaritmanın içinin pozitif olmasını sağlar hem de paydayı sıfır yapmaz.

Bir ifadenin genel terim belirtebilmesi için pozitif tam sayılar kümesindeki her

n

değeri için tanımlı bir gerçel sayıya karşılık gelmesi gerekir.

Soru