Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
xx bir gerçel sayı ve aa bir tam sayı olmak üzere,
x2−(a−2)x+16x2+4x+8>0\frac{x^2 - (a-2)x + 16}{x^2 + 4x + 8} > 0
eşitsizliği her xx gerçel sayısı için sağlanmaktadır.
Buna göre, aa'nın alabilece��i farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevap: 30

Cevap

a tam sayıs��nın alabileceği değerlerin toplamı 30'dur.
Paydadaki ifadenin diskriminantı negatif ve başkatsayısı pozitif olduğundan daima pozitiftir. Eşitsizliğin daima sağlanması için payın da daima pozitif olması gerekir, bu da payın diskriminantının negatif olmasını gerektirir. Buradan elde edilen −6<a<10-6 < a < 10 aralığındaki tam sayıların toplamı 30'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydadaki ifadenin işaretini belirlemek için diskriminant analizi yapılması.
Δ=−16<0\Delta = -16 < 0 ve başkatsayı pozitif olduğundan payda daima pozitiftir.
Paydanın kökünün olup olmadığını ve işaretinin her yerde aynı olup olmadığını anlamak için.
2
Pay kısmındaki ifadenin daima pozitif olması gerektiği şartının kurulması.
x2−(a−2)x+16>0x^2 - (a-2)x + 16 > 0 ifadesinin diskriminantı sıfırdan küçük olmalıdır (Δ<0\Delta < 0).
Daima pozitif bir ifadenin paydası pozitifse payı da pozitif olmalıdır ve gerçel kökü bulunmamalıdır.
3
Payın diskriminant eşitsizliğinin çözülmesi.
∣a−2∣<8⇒−6<a<10|a-2| < 8 \Rightarrow -6 < a < 10 aralığı elde edilir.
aa parametresinin alabileceği değer aralığını bulmak için.
4
Bulunan aralıktaki tam sayıların toplanması.
−5-5 ile 99 arasındaki tam sayıların toplamı 3030 olarak hesaplanır.
Soruda istenen aa değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bir rasyonel ifadenin daima pozitif olması için pay ve paydanın işaretlerinin analizi ve ikinci dereceden bir ifadenin daima pozitif olma şartı (Δ<0\Delta < 0 ve a>0a > 0).
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi