Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDizi Kavramı ve Genel Terim
Bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisinin genel terimi
an=n−52n−ka_n = \sqrt{\frac{n-5}{2n-k}}
olarak veriliyor.
Buna göre, kk tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
  1. A
    10
  2. 20Cevap
  3. C
    30
  4. D
    40
  5. E
    50

Cevap

Doğru cevap 20 değeridir.
Doğru cevap 20'dir. Çünkü (an)(a_n) ifadesinin bir gerçel sayı dizisi belirtmesi için her nn pozitif tam sayısı için tanımlı olması gerekir. Karekökün içinin negatif olmaması ve paydanın sıfır olmaması koşulları incelendiğinde, kk tam sayısının 8<k<128 < k < 12 aralığında olması ve k≠10k \neq 10 şartını sağlaması gerektiği bulunur. Bu koşulları sağlayan kk tam sayıları 9 ve 11'dir, toplamları ise 20'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin gerçel sayı dizisi belirtmesi için gerekli tanım koşullarını belirleme
Kareköklü ifadenin tanımlı olması için kök içinin sıfırdan büyük veya eşit olması ve paydanın sıfırdan farklı olması gerekir. Yani, her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için n−52n−k≥0\frac{n-5}{2n-k} \geq 0 ve 2n−k≠02n-k \neq 0 olmalıdır.
Bir dizinin terimleri gerçel sayılardan oluşmalıdır ve tanım kümesi pozitif tam sayılardır.
2
n=5n = 5 durumunu inceleme
n=5n = 5 için pay sıfır olur: 010−k≥0\frac{0}{10-k} \geq 0. Bu ifadenin tanımlı olması için payda sıfır olmamalıdır, yani 10−k≠0  ⟹  k≠1010-k \neq 0 \implies k \neq 10 olmalıdır.
Payda sıfır olduğunda ifade tanımsız olur.
3
n<5n < 5 (yani n∈{1,2,3,4}n \in \{1, 2, 3, 4\}) durumunu inceleme
n<5n < 5 için pay (n−5)(n-5) negatiftir. İfadenin sıfırdan büyük veya eşit olması için payda (2n−k)(2n-k) da negatif olmalıdır. Buradan 2n−k<0  ⟹  k>2n2n-k < 0 \implies k > 2n elde edilir. Bu eşitsizliğin tüm n∈{1,2,3,4}n \in \{1, 2, 3, 4\} değerleri için sağlanması için en büyük nn değeri olan n=4n=4 için sağlanması yeterlidir: k>2(4)  ⟹  k>8k > 2(4) \implies k > 8.
Negatif bir sayının negatif bir sayıya b��lümü pozitif sonuç verir.
4
n>5n > 5 (yani n≥6n \geq 6) durumunu inceleme
n>5n > 5 için pay (n−5)(n-5) pozitiftir. İfadenin sıfırdan büyük veya eşit olması için payda (2n−k)(2n-k) da pozitif olmalıdır. Buradan 2n−k>0  ⟹  k<2n2n-k > 0 \implies k < 2n elde edilir. Bu eşitsizliğin tüm n≥6n \geq 6 değerleri için sağlanması için en küçük nn değeri olan n=6n=6 için sağlanması yeterlidir: k<2(6)  ⟹  k<12k < 2(6) \implies k < 12.
Pozitif bir sayının pozitif bir sayıya bölümü pozitif sonuç verir.
5
Elde edilen tüm koşulları birleştirme ve kk tam sayılarını bulma
Koşullar birleştirildiğinde 8<k<128 < k < 12 ve k≠10k \neq 10 elde edilir. Bu aralıktaki kk tam sayıları 9 ve 11'dir. Toplamları ise 9+11=209 + 11 = 20 olur.
Tüm indis değerleri (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) için fonksiyonun tanımlı olmasını sağlayan ortak aralık bulunmalıdır.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin gerçel sayı dizisi belirtmesi için tanım kümesindeki her nn pozitif tam sayısı için tanımlı ve reel sayı değerine eşit olması gerekir. Kareköklü ifadelerde kök içi negatif olamaz ve rasyonel ifadelerde payda sıfır olamaz.
Bu soruyu puanla

Konular

Dizi Kavramı ve Genel Terim

Bu konudan daha fazla soru