Examkin

Soru

Zorluk: ZorLimit Özellikleri ve Limit Hesaplama Teknikleri
lim⁡x→πcos⁡(3π2−x)−sin⁡(2x)sin⁡2x+sin⁡x\lim_{x \to \pi} \frac{\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) - \sin(2x)}{\sin^2x + \sin x}

limitinin değeri aşa��ıdakilerden hangisidir?

  1. A
    3
  2. B
    -1
  3. 1Cevap
  4. D
    -3
  5. E
    Limit yoktur

Cevap

1
Doğru seçenekte belirtilen 1 değeri; pay kısmındaki cos(3pi/2 - x) ifadesinin -sin(x) şeklinde indirgenmesi, sin(2x) ifadesinin yarım açı formülüyle açılması, paydadaki sin(x) parantezine alma işlemi ve ardından belirsizlik yaratan sin(x) terimlerinin sadeleştirilip x yerine pi yazılmasıyla elde edilen kesin sonuçtur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki trigonometrik ifadeleri sadeleştirmek için indirgeme formülünü ve yarım açı formülünü uygulayınız.
cos⁡(3π2−x)=−sin⁡x\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x ve sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x ifadeleri elde edilir. Pay ifadesi: −sin⁡x−2sin⁡xcos⁡x=−sin⁡x(1+2cos⁡x)-\sin x - 2\sin x \cos x = -\sin x(1 + 2\cos x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Belirsizliği gidermek amacıyla pay ve paydadaki ortak çarpanları belirlemek için ifadeler çarpanlarına ayrılmalıdır.
2
Payda kısmını ortak çarpan parantezine alınız.
sin⁡2x+sin⁡x=sin⁡x(sin⁡x+1)\sin^2x + \sin x = \sin x(\sin x + 1) elde edilir.
Paydadaki sin⁡x\sin x çarpanını ortaya çıkararak pay kısmındaki sin⁡x\sin x ile sadele��mesini sağlamak amacıyla ortak paranteze alınır.
3
Elde edilen çarpanları limit ifadesinde yerine yazarak x→πx \to \pi için sıfıra yaklaşan ortak çarpanları sadeleştiriniz.
lim⁡x→π−sin⁡x(1+2cos⁡x)sin⁡x(sin⁡x+1)=lim⁡x→π−(1+2cos⁡x)sin⁡x+1\lim_{x \to \pi} \frac{-\sin x(1 + 2\cos x)}{\sin x(\sin x + 1)} = \lim_{x \to \pi} \frac{-(1 + 2\cos x)}{\sin x + 1} elde edilir.
0/00/0 belirsizliğine neden olan sin⁡x\sin x terimleri sadeleştirilerek belirsizlik durumu ortadan kaldırılır.
4
Kalan ifadede x=πx = \pi değerini yerine yazarak limit değerini bulunuz.
−(1+2cos⁡π)sin⁡π+1=−(1+2(−1))0+1=−(−1)1=1\frac{-(1 + 2\cos \pi)}{\sin \pi + 1} = \frac{-(1 + 2(-1))}{0 + 1} = \frac{-(-1)}{1} = 1 bulunur.
Belirsizlik giderildikten sonra limit değeri, kalan sürekli fonksiyon parçasında doğrudan yerine yazma yöntemiyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik İfadelerde Belirsizlik Giderme ve Limit Özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Limit Özellikleri ve Limit Hesaplama Teknikleri

Bu konudan daha fazla soru