a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+a} - 2}{x^2 - 1} = b ol… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

a

b

birer gerçel sayı olmak üzere,

\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+a} - 2}{x^2 - 1} = b

olduğuna göre,

\frac{1}{b} - a

farkı kaçtır?

Cevap: 5

İstenen farkın değeri 5'tir.

Limit değerinin bir gerçel sayı olabilmesi için paydanın sıfıra gittiği durumda payın da sıfıra gitmesi gerektiği kuralından

a

değeri bulunur. Ardından eşlenik çarpımı yardımıyla

\frac{0}{0}

belirsizliği giderilerek limit değeri olan

b

hesaplanır.

Paydanın limitini inceleyip payın limitini sıfıra eşitleyerek

a

değerini bulma.

a = 3

olarak bulunur.

x \to 1

için payda sıfıra yaklaştığından, limitin bir gerçel sayıya eşit olabilmesi için pay da sıfıra yaklaşmal��dır. Yani

\lim_{x \to 1} (\sqrt{x+a} - 2) = 0 \implies \sqrt{1+a} - 2 = 0 \implies a = 3

olur.

Bulunan

a = 3

değerini limitte yerine yazıp payı eşleniği ile çarparak belirsizliği giderme.

Limit ifadesi

\lim_{x \to 1} \frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+3} + 2)}

şekline sadeleşir.

\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x^2 - 1}

ifadesinde

\frac{0}{0}

belirsizliği vardır. Payı ve paydayı

\sqrt{x+3} + 2

ile çarparsak:

\frac{(\sqrt{x+3} - 2)(\sqrt{x+3} + 2)}{(x^2 - 1)(\sqrt{x+3} + 2)} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+3} + 2)}

elde edilir.

x \neq 1

olduğundan

x-1

terimleri sadeleşir.

Sadeleşen ifadede

x=1

yazarak limit değeri olan

b

'yi bulma ve

\frac{1}{b} - a

değerini hesaplama.

b = \frac{1}{8}

\frac{1}{b} - a = 5

bulunur.

b = \lim_{x \to 1} \frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+3} + 2)} = \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8}

olur. Buradan

\frac{1}{b} - a = 8 - 3 = 5

elde edilir.

Limitlerde 0/0 belirsizliğinin köklü ifadeler içeren rasyonel fonksiyonlarda eşlenik çarpımı ile giderilmesi ve parametre bulma.

Soru