Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTemel Türev Alma Kuralları
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
h(x)=f(x)⋅g(x)h(x) = f(x) \cdot g(x)
k(x)=f(x)g(x)k(x) = \frac{f(x)}{g(x)}
eşitlikleri sağlanmaktadır.
f(1)=2f(1) = 2 ve g(1)=1g(1) = 1 olmak üzere, hh ve kk fonksiyonlarının türevleri sırasıyla
h′(x)=10xh'(x) = 10x
k′(x)=2[g(x)]2k'(x) = \frac{2}{[g(x)]^2}
biçiminde verilmiştir.

Buna göre, f′(1)+g′(1)f'(1) + g'(1) toplamı kaçtır?

  1. A
    4
  2. B
    6
  3. C
    7
  4. 8Cevap
  5. E
    10

Cevap

Çarpım ve böl��m türev kuralları uygulanarak elde edilen denklem sisteminin çözümünden f'(1) + g'(1) toplamı 8 olarak bulunur.
Çarpım türev kuralından f′(1)+2g′(1)=10f'(1) + 2g'(1) = 10 ve bölüm türev kuralından f′(1)−2g′(1)=2f'(1) - 2g'(1) = 2 denklemleri elde edilir. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde f′(1)=6f'(1) = 6 ve g′(1)=2g'(1) = 2 bulunur. Toplamları 8 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpım türevi kuralını uygulayarak h'(1) değerini bulunuz.
f′(1)+2g′(1)=10f'(1) + 2g'(1) = 10 denklemi elde edilir.
h(x)=f(x)⋅g(x)h(x) = f(x) \cdot g(x) olduğundan çarpım türevi h′(x)=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) şeklindedir. x=1x = 1 için h′(1)=f′(1)⋅g(1)+f(1)⋅g′(1)h'(1) = f'(1) \cdot g(1) + f(1) \cdot g'(1) olur. Verilen f(1)=2f(1) = 2, g(1)=1g(1) = 1 ve h′(1)=10h'(1) = 10 değerleri yerine yazıldığında bu eşitliğe ulaşılır.
2
Bölüm türevi kuralını uygulayarak k'(1) değerini bulunuz.
f′(1)−2g′(1)=2f'(1) - 2g'(1) = 2 denklemi elde edilir.
k(x)=f(x)g(x)k(x) = \frac{f(x)}{g(x)} olduğundan bölüm türevi k′(x)=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)[g(x)]2k'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} şeklindedir. Bize verilen k′(x)=2[g(x)]2k'(x) = \frac{2}{[g(x)]^2} ifadesinden payların eşit olması gerektiği görülür. Buradan f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)=2f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) = 2 elde edilir. x=1x = 1 için bilinen değerler yazıldığında denklem kurulur.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini ortak çözünüz.
f′(1)=6f'(1) = 6 ve g′(1)=2g'(1) = 2 olarak bulunur.
f′(1)+2g′(1)=10f'(1) + 2g'(1) = 10 ve f′(1)−2g′(1)=2f'(1) - 2g'(1) = 2 denklemleri taraf tarafa toplandığında 2f′(1)=12  ⟹  f′(1)=62f'(1) = 12 \implies f'(1) = 6 bulunur. Bu değer ilk denklemde yerine yazıldığında 6+2g′(1)=10  ⟹  2g′(1)=4  ⟹  g′(1)=26 + 2g'(1) = 10 \implies 2g'(1) = 4 \implies g'(1) = 2 elde edilir.
4
İstenen toplam değerini hesaplayınız.
f′(1)+g′(1)=6+2=8f'(1) + g'(1) = 6 + 2 = 8 bulunur.
Soru bizden f′(1)f'(1) ve g′(1)g'(1) değerlerinin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Türev kurallarından çarpımın ve bölümün türevi kurallarının cebirsel olarak uygulanması ve ortak denklem çözümü.
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Türev Alma Kuralları

Bu konudan daha fazla soru