Bir (a_n) dizisinde a_1 = \frac{3}{4} ve her n \geq 1 tam sayısı için a_{n+1} = a_n + \fra… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir

(a_n)

dizisinde

a_1 = \frac{3}{4}

ve her

n \geq 1

tam sayısı için

a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n^3 + 3n^2 + 2n}

bağıntısı sağlanmaktadır.

Buna göre, dizinin genel terimi

a_n

olmak üzere,

\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{1 - a_k}

toplamının değeri kaçtır?

İstenen toplamın değeri 880'dir.

Ardışık terimlerin farkı teleskopik biçimde yazılıp taraf tarafa toplandığında genel terim

a_n = 1 - \frac{1}{2n(n+1)}

olarak elde edilir. İstenen toplamda genel terim yerine yazıldığında toplam

2k(k+1)

ifadesinin

k=1

'den

10

'a kadar olan toplamına dönüşür. Formül uygulandığında sonuç 880 çıkmaktadır.

İndirgeme bağıntısındaki kesrin paydasını çarpanlarına ayırın.

n^3 + 3n^2 + 2n = n(n^2 + 3n + 2) = n(n+1)(n+2)

elde edilir.

Kesirli ifadeyi daha basit terimlere ayırmak için öncelikle paydayı çarpanlarına ayırmamız gerekir.

İfadeyi teleskopik sadeleştirmeye uygun olacak şekilde basit kesirlere ayrıştırın.

\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)

olarak yazılır.

Ardışık terimlerin farkı biçiminde yazarak taraf tarafa toplama işleminde sadeleşme sağlamak amacıyla bu ayrıştırma yapılır.

İndirgeme bağıntısını kullanarak dizinin genel terimi

a_n

'i bulun.

a_n - a_1 = \sum_{i=1}^{n-1} (a_{i+1} - a_i) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n-1} \left( \frac{1}{i(i+1)} - \frac{1}{(i+1)(i+2)} \right)

a_n - a_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{n(n+1)} \right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2n(n+1)}

a_1 = \frac{3}{4}

değeri yerine yazıldığında:

a_n = 1 - \frac{1}{2n(n+1)}

elde edilir.

Başlangıç koşulunu kullanarak dizinin her

n

pozitif tam sayısı için geçerli olan genel terim formülünü üretmek için.

İstenen toplam sembolündeki genel terimi yerine yazarak sonucu hesaplayın.

1 - a_k = \frac{1}{2k(k+1)} \Rightarrow \frac{1}{1-a_k} = 2k(k+1)

\sum_{k=1}^{10} 2k(k+1) = 2 \sum_{k=1}^{10} k(k+1)

Ardışık çarpım toplam formülü

\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}

kullanılarak:

2 \cdot \frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{3} = 2 \cdot 440 = 880

bulunur.

Elde edilen genel terimi istenen matematiksel ifadede yerine koyup bilinen toplam formülleri yardımıyla sonucu bulmak için.

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam yardımıyla genel terim bulma ve ardışık terimlerin toplam formüllerini uygulama.

Soru