Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSüreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları
f(x)=x−2x2−ax+a+3f(x) = \frac{x - 2}{x^2 - ax + a + 3} fonksiyonu gerçek sayılar kümesinde yalnızca bir noktada süreksizdir. Buna göre, aa gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
  1. A
    -4
  2. B
    6
  3. 4Cevap
  4. D
    11
  5. E
    13

Cevap

4
Doğru cevap olan 4, paydanın tek bir gerçek kökünün olması için gereken Δ=0\Delta = 0 koşulundan elde edilen a=6a = 6 ve a=−2a = -2 değerlerinin toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Süreksizlik şartını belirleme
Fonksiyonun süreksiz olduğu noktalar, fonksiyonu tanımsız yapan yani paydasını sıfır yapan noktalardır. Fonksiyonun yalnızca bir noktada süreksiz olması için, paydadaki ikinci dereceden ifadenin yalnızca bir gerçek kökü (çift katlı kök) olmalıdır.
Rasyonel fonksiyonlar paydanın sıfır olduğu noktalarda tanımsızdır ve bu noktalarda sürekli olamazlar.
2
Diskriminant hesabı yapma
Paydadaki x2−ax+a+3x^2 - ax + a + 3 ifadesinin çift katlı köke sahip olması için diskriminantı sıfıra eşitlenir: Δ=(−a)2−4⋅1⋅(a+3)=a2−4a−12=0\Delta = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a + 3) = a^2 - 4a - 12 = 0.
İkinci dereceden bir denklemin tek bir gerçek kökünün olması için diskriminant sıfır olmalıdır.
3
Denklemi çözme ve değerleri toplama
a2−4a−12=0  ⟹  (a−6)(a+2)=0a^2 - 4a - 12 = 0 \implies (a - 6)(a + 2) = 0 denkleminin kökleri a=6a = 6 ve a=−2a = -2 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 6+(−2)=46 + (-2) = 4 olur.
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak aa parametresinin alabileceği farklı değerleri ve bunların toplamını bulmak gerekir.

Anahtar Kavram

Rasyonel fonksiyonların sürekliliği ve paydanın kökleri ile ilişkisi
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Süreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

Bu konudan daha fazla soru