Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBir Boyutta Sabit İvmeli Hareket

Durgun halden doğrusal bir yolda sabit 3 m/s23\text{ m/s}^2 ivmeyle hızlanmaya başlayan bir otomobil, belirli bir süre sonra hızlanmayı bırakıp gecikmeden sabit 6 m/s26\text{ m/s}^2 ivmeyle yavaşlayarak duruyor. Otomobilin harekete başladığı andan durduğu ana kadar aldığı toplam yol 900 m900\text{ m} olduğuna göre, bu hareket boyunca ulaştığı maksimum hız kaç m/s\text{m/s}'dir?

  1. A
    30
  2. B
    45
  3. 60Cevap
  4. D
    90
  5. E
    120

Cevap

Maksimum hız 60 m/s'dir.
Otomobilin hız-zaman grafiği çizildiğinde, hızlanma süresi t1t_1 ve yavaşlama süresi t2t_2 olmak üzere, ulaşılan maksimum hız vmaks=3t1=6t2v_{\text{maks}} = 3t_1 = 6t_2 olur. Buradan t1=2t2t_1 = 2t_2 ilişkisi elde edilir. Toplam hareket süresi t1+t2=3t2t_1 + t_2 = 3t_2 olur. Hız-zaman grafiğinin altında kalan alan alınan toplam yolu vereceğinden, alan formülü vmaks⋅(t1+t2)2=900\frac{v_{\text{maks}} \cdot (t_1 + t_2)}{2} = 900 olarak yazılır. Değerler yerine konulduğunda 6t2⋅3t22=900  ⟹  9t22=900  ⟹  t2=10 s\frac{6t_2 \cdot 3t_2}{2} = 900 \implies 9t_2^2 = 900 \implies t_2 = 10\text{ s} bulunur. Buradan maksimum hız vmaks=6⋅10=60 m/sv_{\text{maks}} = 6 \cdot 10 = 60\text{ m/s} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Hızlanma ve yavaşlama süreleri arasındaki ilişkiyi belirleyin.
t1=2t2t_1 = 2t_2
Maksimum hız her iki aşama için de ortak olduğundan vmaks=a1t1=a2t2  ⟹  3t1=6t2  ⟹  t1=2t2v_{\text{maks}} = a_1 t_1 = a_2 t_2 \implies 3t_1 = 6t_2 \implies t_1 = 2t_2 elde edilir.
2
Toplam yolu hız-zaman grafiğinin alanı cinsinden yazarak süreleri bulun.
t2=10 st_2 = 10\text{ s} ve t1=20 st_1 = 20\text{ s}
Grafik altındaki alan vmaks⋅(t1+t2)2=900  ⟹  6t2⋅3t22=900  ⟹  9t22=900  ⟹  t2=10 s\frac{v_{\text{maks}} \cdot (t_1 + t_2)}{2} = 900 \implies \frac{6t_2 \cdot 3t_2}{2} = 900 \implies 9t_2^2 = 900 \implies t_2 = 10\text{ s} bulunur.
3
Bulunan süreyi kullanarak maksimum hızı hesaplayın.
vmaks=60 m/sv_{\text{maks}} = 60\text{ m/s}
vmaks=6⋅t2=6⋅10=60 m/sv_{\text{maks}} = 6 \cdot t_2 = 6 \cdot 10 = 60\text{ m/s} olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Sabit ivmeli harekette hız-zaman grafiği alanı ve ivme-zaman ilişkisi

Alternatif Yöntem

Zamansız hız formülü (v2=2axv^2 = 2ax) kullanılarak da çözülebilir. Hızlanma mesafesi x1x_1 ve yavaşlama mesafesi x2x_2 olmak üzere, vmaks2=2⋅3⋅x1v_{\text{maks}}^2 = 2 \cdot 3 \cdot x_1 ve vmaks2=2⋅6⋅x2v_{\text{maks}}^2 = 2 \cdot 6 \cdot x_2 yazılır. Buradan 6x1=12x2  ⟹  x1=2x26x_1 = 12x_2 \implies x_1 = 2x_2 bulunur. Toplam yol x1+x2=900 m  ⟹  3x2=900  ⟹  x2=300 mx_1 + x_2 = 900\text{ m} \implies 3x_2 = 900 \implies x_2 = 300\text{ m} olur. Buradan vmaks2=12⋅300=3600  ⟹  vmaks=60 m/sv_{\text{maks}}^2 = 12 \cdot 300 = 3600 \implies v_{\text{maks}} = 60\text{ m/s} elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Bir Boyutta Sabit İvmeli Hareket

Bu konudan daha fazla soru