Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAnlık Değişim Oranı ve Türevin Limit Tanımı

Baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden bir f(x)f(x) polinom fonksiyonu için f(1)=4f(1) = 4 eşitliği sağlanmaktadır.

lim⁡h→0f(2+h)−f(2)h=7 \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = 7

olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevap: 18

Cevap

İkinci dereceden polinom fonksiyonunun katsayıları belirlendikten sonra f(3)f(3) değeri hesaplandığında doğru cevap 18 olarak bulunur.
Türevin limit tanımı gereğince lim⁡h→0f(2+h)−f(2)h\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} limitinin değeri f′(2)f'(2) ye eşittir. f(x)=x2+ax+bf(x) = x^2 + ax + b polinomunun türevi f′(x)=2x+af'(x) = 2x + a olup f′(2)=4+a=7f'(2) = 4 + a = 7 denklemi çözüldüğünde a=3a = 3 bulunur. f(1)=4  ⟹  1+a+b=4  ⟹  b=0f(1) = 4 \implies 1 + a + b = 4 \implies b = 0 elde edilir. Buradan fonksiyon f(x)=x2+3xf(x) = x^2 + 3x olur ve f(3)=32+3(3)=18f(3) = 3^2 + 3(3) = 18 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Polinom fonksiyonunun genel formunu yazarak verilen noktayı yerine koyma
a+b=3a + b = 3
Baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden f(x)=x2+ax+bf(x) = x^2 + ax + b polinomunda f(1)=4f(1) = 4 bilgisini uygulamak amacıyla.
2
Limit ifadesini türevin limit tanımı ile eşleştirme
f′(2)=7f'(2) = 7
lim⁡h→0f(2+h)−f(2)h\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} limitinin ff fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki anlık değişim oranı olan türev değerini ifade ettiğini belirlemek amacıyla.
3
Türev fonksiyonunu bulup bilinen türev değerini yerine yazarak aa katsayısını çözme
a=3a = 3
f′(x)=2x+af'(x) = 2x + a olduğundan f′(2)=4+a=7f'(2) = 4 + a = 7 eşitliğini çözmek amacıyla.
4
Bulunan aa katsayısını kullanarak bb katsayısını belirleme
b=0b = 0
a+b=3a + b = 3 denkleminde a=3a = 3 değerini yerine yazarak bb sabitini bulmak amacıyla.
5
Belirlenen fonksiyon kuralında x=3x = 3 yazarak istenen değeri hesaplama
f(3)=18f(3) = 18
f(x)=x2+3xf(x) = x^2 + 3x kuralında x=3x = 3 değerini hesaplayarak sonuca ulaşmak amacıyla.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim oranı, o noktadaki türevine eşittir ve bu değer türevin limit tanımı olan lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} limitinin hesaplanmasıyla bulunur.
Bu soruyu puanla

Konular

Anlık Değişim Oranı ve Türevin Limit Tanımı

Bu konudan daha fazla soru