Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLimit Özellikleri ve Limit Hesaplama Teknikleri

f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonu her xx gerçel sayısı için

2x−1≤f(x)≤x22x - 1 \leq f(x) \leq x^2

eşitsizliğini sağlamaktadır.

Buna göre,

lim⁡x→1f(x)−1x2−1\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 1}{x^2 - 1}

limitinin değeri kaçtır?

  1. A
    0
  2. B
    12\frac{1}{2}
  3. 1Cevap
  4. D
    2
  5. E
    Limit yoktur

Cevap

Limitin değeri 1'dir.
Verilen eşitsizlikten 1 çıkarılıp x2−1x^2-1 ifadesine bölündüğünde, x→1+x \to 1^+ ve x→1−x \to 1^- durumları için Sıkıştırma Teoremi uygulandığında limit 1 olarak bulunur. Dolayısıyla limit değeri 1'e eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Sıkıştırma Teoremi yardımıyla fonksiyonun x = 1 noktasındaki limitini belirlemek.
lim⁡x→1f(x)=1\lim_{x \to 1} f(x) = 1
Her xx için 2x−1≤f(x)≤x22x - 1 \leq f(x) \leq x^2 verildiğinden, x→1x \to 1 için limit alındığında lim⁡x→1(2x−1)=1\lim_{x \to 1} (2x - 1) = 1 ve lim⁡x→1x2=1\lim_{x \to 1} x^2 = 1 olur. Bu durumda sıkıştırma teoremi gereği lim⁡x→1f(x)=1\lim_{x \to 1} f(x) = 1 olur. Dolayısıyla aranan limit ifadesinde 00\frac{0}{0} belirsizli��i vardır.
2
Eşitsizliği aranan limit ifadesinin pay kısmını elde edecek şekilde düzenlemek.
2(x−1)≤f(x)−1≤(x−1)(x+1)2(x - 1) \leq f(x) - 1 \leq (x - 1)(x + 1)
2x−1≤f(x)≤x22x - 1 \leq f(x) \leq x^2 eşitsizliğinin her tarafından 1 çıkarıldığında 2x−2≤f(x)−1≤x2−12x - 2 \leq f(x) - 1 \leq x^2 - 1 elde edilir. Çarpanlara ayırma yapıldığında 2(x−1)≤f(x)−1≤(x−1)(x+1)2(x - 1) \leq f(x) - 1 \leq (x - 1)(x + 1) yazılabilir.
3
x→1+x \to 1^+ ve x→1−x \to 1^- durumları için sağdan ve soldan limitleri incelemek.
Sağdan limit: lim⁡x→1+f(x)−1x2−1=1\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - 1}{x^2 - 1} = 1, Soldan limit: lim⁡x→1−f(x)−1x2−1=1\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - 1}{x^2 - 1} = 1
x→1+x \to 1^+ için x2−1>0x^2 - 1 > 0 olduğundan eşitsizlik her tarafı x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x-1)(x+1) ile bölündüğünde yön değiştirmez ve 2x+1≤f(x)−1x2−1≤1\frac{2}{x+1} \leq \frac{f(x)-1}{x^2-1} \leq 1 olur; x→1+x \to 1^+ iken 2x+1→1\frac{2}{x+1} \to 1 olduğundan limit 1'dir. x→1−x \to 1^- için x2−1<0x^2 - 1 < 0 olduğundan bölme işleminde eşitsizlik yön değiştirir ve 1≤f(x)−1x2−1≤2x+11 \leq \frac{f(x)-1}{x^2-1} \leq \frac{2}{x+1} olur; x→1−x \to 1^- iken de limit 1'dir. Sağ ve sol limitler eşit olduğundan limit 1'dir.

Anahtar Kavram

Sıkıştırma (Sandviç) Teoremi ve limit hesaplama teknikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Limit Özellikleri ve Limit Hesaplama Teknikleri

Bu konudan daha fazla soru