Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir (a_n) geometrik dizisi için, a_3 \cdot a_7 = 36 a_1 + a_9 = 15 \neşitlikleri veriliyor. Buna göre, a_3^2 + a_7^2 toplamının değeri kaçtır?

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir (a_n) geometrik dizisi için, a_3 \cdo… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir $(a_n)$ geometrik dizisi için,

a_3 \cdot a_7 = 36

a_1 + a_9 = 15

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $a_3^2 + a_7^2$ toplamının değeri kaçtır?

Dizinin artan olma özelliği ve geometrik dizi kuralları doğru uygulandığında

a_1=3

a_9=12

r^2=\sqrt{2}

bulunur. Buradan

a_3^2 + a_7^2 = 18 + 72 = 90

elde edilir.

Geometrik dizinin simetri özelliğini kullanarak ortanca terimi bulma.

a_5 = 6

a_1 \cdot a_9 = 36

Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları eşittir.

3+7 = 1+9 = 10

olduğundan

a_3 \cdot a_7 = a_1 \cdot a_9 = a_5^2 = 36

olur.

İlk ve dokuzuncu terimleri bulmak için denklem sistemini çözme.

a_1 = 3

a_9 = 12

Çarpımları 36 ve toplamları 15 olan pozitif sayılar 3 ve 12'dir. Dizi artan olduğu için

a_1 < a_9

olmalıdır. Dolayısıyla

a_1 = 3

a_9 = 12

bulunur.

Dizinin ortak çarpanının karesini (

r^2

) elde etme.

r^2 = \sqrt{2}

a_9 = a_1 \cdot r^8

bağıntısından

12 = 3 \cdot r^8 \Rightarrow r^8 = 4 \Rightarrow r^2 = \sqrt{2}

elde edilir.

İstenen üçüncü ve yedinci terimlerin değerlerini hesaplama.

a_3 = 3\sqrt{2}

a_7 = 6\sqrt{2}

a_3 = a_1 \cdot r^2 = 3\sqrt{2}

a_7 = a_9 / r^2 = 12 / \sqrt{2} = 6\sqrt{2}

olarak bulunur.

Kareler toplamını hesaplama.

a_3^2 + a_7^2 = 90

a_3^2 + a_7^2 = (3\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2 = 18 + 72 = 90

elde edilir.

Geometrik dizilerde terimler arası çarpım simetrisi ve indis ilişkileri.