Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBelirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Her xx gerçel sayısı için türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları,
∫(f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x))dx=2x2+3x+C\int \left( f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \right) dx = 2x^2 + 3x + C
f(x)−g(x)=xf(x) - g(x) = x
eşitliklerini sağlamaktadır.

f(1)=3f(1) = 3 olduğuna göre, g(2)g(2) değeri kaçtır?

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. 3Cevap
  4. D
    4
  5. E
    5

Cevap

Doğru cevap 3 değeridir.
Çarpımın türevi kuralı kullanılarak belirsiz integralden f(x)⋅g(x)=2x2+3x+C0f(x) \cdot g(x) = 2x^2 + 3x + C_0 ifadesi elde edilir. x=1x = 1 için sınır koşulları (f(1)=3f(1) = 3 ve g(1)=2g(1) = 2) yerine yazıldığında integral sabiti C0=1C_0 = 1 olarak bulunur. Sonrasında x=2x = 2 için oluşturulan ikinci dereceden denklem çözüldüğünde, fonksiyonların sürekliliği göz önüne alınarak g(2)=3g(2) = 3 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen belirsiz integralin sol tarafındaki ifadeyi çarpımın türevi kuralı yardımıyla sadeleştirmek.
∫(f(x)⋅g(x))′ dx=2x2+3x+C\int (f(x) \cdot g(x))' \, dx = 2x^2 + 3x + C ifadesinden f(x)⋅g(x)=2x2+3x+C0f(x) \cdot g(x) = 2x^2 + 3x + C_0 elde edilir (burada C0C_0 bir integral sabitidir).
İntegral altındaki f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) ifadesi, f(x)⋅g(x)f(x) \cdot g(x) çarpımının türevidir.
2
f(1)=3f(1) = 3 bilgisini ve f(x)−g(x)=xf(x) - g(x) = x eşitliğini kullanarak g(1)g(1) değerini bulmak.
x=1x = 1 için f(1)−g(1)=1  ⟹  3−g(1)=1  ⟹  g(1)=2f(1) - g(1) = 1 \implies 3 - g(1) = 1 \implies g(1) = 2 bulunur.
C0C_0 sabitini belirlemek amacıyla öncelikle g(1)g(1) değerinin bulunması gerekir.
3
f(1)=3f(1) = 3 ve g(1)=2g(1) = 2 değerlerini çarpım denkleminde yerine yazarak C0C_0 sabitini hesaplamak.
f(1)⋅g(1)=2(1)2+3(1)+C0  ⟹  3⋅2=5+C0  ⟹  C0=1f(1) \cdot g(1) = 2(1)^2 + 3(1) + C_0 \implies 3 \cdot 2 = 5 + C_0 \implies C_0 = 1 bulunur. Böylece her xx gerçel sayısı için f(x)⋅g(x)=2x2+3x+1f(x) \cdot g(x) = 2x^2 + 3x + 1 fonksiyon ilişkisi kurulmuş olur.
İntegral sabitinin net değerini bulmak, fonksiyonun diğer noktalardaki değerlerini doğru hesaplayabilmek için şarttır.
4
x=2x = 2 için f(2)⋅g(2)f(2) \cdot g(2) değerini hesaplamak ve f(x)−g(x)=xf(x) - g(x) = x eşitliğini x=2x = 2 için yazmak.
f(2)⋅g(2)=2(2)2+3(2)+1=15f(2) \cdot g(2) = 2(2)^2 + 3(2) + 1 = 15
f(2)−g(2)=2  ⟹  f(2)=g(2)+2f(2) - g(2) = 2 \implies f(2) = g(2) + 2 elde edilir.
g(2)g(2) değerine ulaşmak için iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturulur.
5
f(2)f(2) değerini çarpım denkleminde yerine yazarak g(2)g(2) değerine bağlı ikinci dereceden denklemi çözmek.
(g(2)+2)⋅g(2)=15  ⟹  [g(2)]2+2g(2)−15=0  ⟹  (g(2)+5)(g(2)−3)=0(g(2) + 2) \cdot g(2) = 15 \implies [g(2)]^2 + 2g(2) - 15 = 0 \implies (g(2) + 5)(g(2) - 3) = 0
Buradan g(2)=3g(2) = 3 veya g(2)=−5g(2) = -5 bulunur.
g(2)g(2) değerinin alabileceği olası kökleri belirlemek.
6
ff ve gg fonksiyonlarının gerçel sayılarda türevlenebilir (dolayısıyla sürekli) olmasını kullanarak doğru kökü seçmek.
g(x)=−x+∣3x+2∣2=x+1g(x) = \frac{-x + |3x+2|}{2} = x + 1 (çünkü g(1)=2>0g(1) = 2 > 0 olup fonksiyonun işareti x>−2/3x > -2/3 için pozitiftir). Dolayısıyla g(2)=2+1=3g(2) = 2 + 1 = 3 olmalıdır.
Fonksiyonun süreklilik koşulu altında tek bir tanımlı dalı olabileceğinden negatif kök elenir.

Anahtar Kavram

Belirsiz integralin türevle ilişkisi, çarpımın türevi integrali ve sınır koşulları yardımıyla fonksiyon tayini.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

Bu konudan daha fazla soru