Kütlesi M, yarıçapı R olan homojen, ince bir çemberin merkezinden geçen ve çember düzlemin… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Kütlesi $M$ , yarıçapı $R$ olan homojen, ince bir çemberin merkezinden geçen ve çember düzlemine dik eksene göre eylemsizlik momenti $I = M R^2$ olarak tanımlanmıştır.

Buna göre, sol sütundaki fiziksel işlemleri, sağ sütundaki eylemsizlik momentinde meydana gelen değişimlerle doğru bir şekilde eşleştiriniz.

Kütlesi $M$ , yarıçapı $R$ olan çemberin kütlesinin iki katına çıkarılıp yarıçapının yarıya düşürülmesi (dönme ekseni yine merkezden geçen ve düzleme dik olan eksendir).Eylemsizlik momenti ilk değerinin yarısına iner ( $\frac{I}{2}$ ).
Çemberin yarısının kesilip atılması ve kalan yarım çemberin dönme ekseninin, çemberin kendi düzleminde bulunan ve merkezden geçen bir çapa kaydırılması.Eylemsizlik momenti ilk değerinin dörtte birine iner ( $\frac{I}{4}$ ).
Çemberin kütle ve yarıçapı sabit tutularak, dönme ekseninin çember düzlemine dik kalacak şekilde merkezden çember üzerindeki bir noktaya kaydırılması.Eylemsizlik momenti ilk değerinin iki katına çıkar ( $2I$ ).
Çemberin kütlesinin dörtte birinin eritilerek merkezdeki dönme ekseni üzerine noktasal olarak toplanması (kalan kütle çember üzerindedir).Eylemsizlik momenti ilk değerinin dörtte üçüne iner ( $\frac{3}{4}I$ ).

Cevap

Sol sütundaki fiziksel işlemler sırasıyla sağ sütundaki eylemsizlik momenti değişimleriyle şu şekilde eşleşir: 1-I/2, 2-I/4, 3-2I, 4-3I/4.

Her bir eşleşme, eylemsizlik momentinin temel tanımı (

I = \sum m r^2

), paralel eksen teoremi ve dik eksenler teoremi kullanılarak doğrulanabilir. Birinci işlemde yarıçapın karesiyle olan değişim kütle artışını domine eder ve eylemsizlik momenti yarıya düşer. İkinci işlemde hem kütle yarıya iner hem de düzlemsel çap eksenine geçişten ötürü eylemsizlik momenti yarıya iner, toplamda dörtte birine düşer. Üçüncü işlemde paralel eksen teoremi gereği eylemsizlik momenti ilk değerinin iki katına çıkar. Dördüncü işlemde dönme eksenine yerleştirilen kütlenin katkısı sıfır olduğundan, eylemsizlik momenti sadece çemberde kalan kütle ile orantılı olarak dörtte üçüne iner.

Adım Adım Çözüm

İlk durumdaki eylemsizlik momentinin kütle ve yarıçap cinsinden tanımını yapmak.

I = M R^2

olarak belirlenir.

Sistemde yapılacak değişikliklerin eylemsizlik momentine oranını bulmak için referans değerdir.

Birinci durum için yeni eylemsizlik momentini kütle ve yarıçap değişimlerine g��re hesaplamak.

I_1 = (2M) \cdot (R/2)^2 = 2M \cdot \frac{R^2}{4} = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{I}{2}

bulunur.

Kütlenin doğrusal, yarıçapın ise karesiyle orantılı olan etkisini görmek gerekir.

İkinci durum için hem kütle azalmasını hem de eksen değişimini dik eksenler teoremi ile birleştirmek.

Düzlemsel çember için

I_z = I_x + I_y

olup

I_x = I_y = \frac{1}{2} I_z

yazılır. Yarım çemberin kütlesi

M/2

olduğundan çap eksenine göre eylemsizlik momenti

I_2 = \frac{1}{2} \left(\frac{M}{2}\right) R^2 = \frac{1}{4} M R^2 = \frac{I}{4}

bulunur.

Eksenin düzleme taşınması ve kütle kaybının ortak eylemsizlik etkisini hesaplamak amaçlanır.

Üçüncü durum için paralel eksen teoremini uygulamak.

I_3 = I_{\text{KM}} + M d^2

formülünden

d = R

alınarak

I_3 = I + M R^2 = 2I

bulunur.

Dönme ekseninin kütle merkezinden dışarıya doğru

R

kadar paralel kaydırılmasının etkisini bulmaktır.

Dördüncü durum için eksene taşınan kütlenin katkısını ve çemberdeki kalan kütlenin katkısını toplamak.

I_4 = I_{\text{kalan}} + I_{\text{merkez}} = \left(\frac{3}{4} M\right) R^2 + \left(\frac{1}{4} M\right) (0)^2 = \frac{3}{4} I

bulunur.

Kütlenin bir kısmının dönme eksenine taşınmasıyla oluşan yeni kütle dağılımını analiz etmektir.

Anahtar Kavram

Eylemsizlik momentinin kütle dağılımına, dönme ekseninin konumuna ve yönelimine bağlılığı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru