Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBelirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
A(x)=∫(x2⋅f′(x)+2x⋅f(x))dxA(x) = \int \left( x^2 \cdot f'(x) + 2x \cdot f(x) \right) dx
B(x)=∫(x⋅f′(x)+f(x))dxB(x) = \int \left( x \cdot f'(x) + f(x) \right) dx
eşitlikleri veriliyor.
A(1)=4A(1) = 4, B(1)=2B(1) = 2, A(2)=15A(2) = 15 ve B(2)=7B(2) = 7 olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?
  1. 33Cevap
  2. B
    44
  3. C
    55
  4. D
    72\frac{7}{2}
  5. E
    154\frac{15}{4}

Cevap

Aranan değer olan 3 sayısı elde edilir.
Doğru cevaba ulaşmak için integrallerin içindeki ifadelerin çarpım türevi kuralları olduğunu fark etmeliyiz. A(x)=x2⋅f(x)+C1A(x) = x^2 \cdot f(x) + C_1 ve B(x)=x⋅f(x)+C2B(x) = x \cdot f(x) + C_2 olarak integre edilir. x=1x = 1 için verilenlerden C1=C2+2C_1 = C_2 + 2 bağıntısı çıkarılır. Ardından x=2x = 2 için 4⋅f(2)+C1=154 \cdot f(2) + C_1 = 15 ve 2⋅f(2)+C2=72 \cdot f(2) + C_2 = 7 denklemleri yazılır. İlk denklemde C1C_1 yerine C2+2C_2 + 2 yazıldığında 4⋅f(2)+C2=134 \cdot f(2) + C_2 = 13 elde edilir. Bu denklemden 2⋅f(2)+C2=72 \cdot f(2) + C_2 = 7 çıkarıldığında 2⋅f(2)=62 \cdot f(2) = 6 ve buradan f(2)=3f(2) = 3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral kurallarını kullanarak A(x)A(x) ve B(x)B(x) ifadelerinin belirsiz integrallerini belirleyelim.
A(x)=x2⋅f(x)+C1A(x) = x^2 \cdot f(x) + C_1 ve B(x)=x⋅f(x)+C2B(x) = x \cdot f(x) + C_2 elde edilir.
Çarpım türevi kuralından (x2⋅f(x))′=x2⋅f′(x)+2x⋅f(x)(x^2 \cdot f(x))' = x^2 \cdot f'(x) + 2x \cdot f(x) ve (x⋅f(x))′=x⋅f′(x)+f(x)(x \cdot f(x))' = x \cdot f'(x) + f(x) olduğunu biliyoruz. Belirsiz integral, türevin tersi olduğundan bu sonuçlara ulaşılır.
2
x=1x = 1 için verilen değerleri kullanarak integral sabitleri C1C_1 ve C2C_2 arasındaki ilişkiyi bulalım.
C1=C2+2C_1 = C_2 + 2 bağıntısı elde edilir.
A(1)=12⋅f(1)+C1=4A(1) = 1^2 \cdot f(1) + C_1 = 4 ve B(1)=1⋅f(1)+C2=2B(1) = 1 \cdot f(1) + C_2 = 2 eşitlikleri taraf tarafa çıkarılarak f(1)f(1) terimi yok edilir.
3
x=2x = 2 için verilen değerleri ve bulduğumuz sabit ilişkisini kullanarak bir denklem sistemi kuralım.
A(2)=4⋅f(2)+C1=15A(2) = 4 \cdot f(2) + C_1 = 15 ve B(2)=2⋅f(2)+C2=7B(2) = 2 \cdot f(2) + C_2 = 7 denklem sistemi elde edilir.
Belirsiz integral sonuçlarında x=2x = 2 yazılarak bu eşitlikler elde edilir.
4
C1=C2+2C_1 = C_2 + 2 ilişkisini A(2)A(2) denkleminde yerine yazıp denklem sistemini çözelim.
f(2)=3f(2) = 3 bulunur.
4⋅f(2)+C2+2=15  ⟹  4⋅f(2)+C2=134 \cdot f(2) + C_2 + 2 = 15 \implies 4 \cdot f(2) + C_2 = 13 elde edilir. Bu denklemden 2⋅f(2)+C2=72 \cdot f(2) + C_2 = 7 çıkarıldığında 2⋅f(2)=6  ⟹  f(2)=32 \cdot f(2) = 6 \implies f(2) = 3 bulunur.

Anahtar Kavram

Belirsiz integralin türevle ilişkisi ve çarpım türevinin tersini bulma
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

Bu konudan daha fazla soru