Bir (a_n) dizisinde, a_2 = 4 ve her n \geq 2 tam sayısı için a_{n+1} = \frac{n+1}{n-1} \cd… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir

(a_n)

dizisinde,

a_2 = 4

ve her

n \geq 2

tam sayısı için

a_{n+1} = \frac{n+1}{n-1} \cdot a_n

indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, bu dizinin 10. terimi olan $a_{10}$ değeri kaçtır?

Doğru cevap 180'dir.

Teleskopik çarpım yöntemiyle ardışık terimler taraf tarafa çarpılıp sadeleştirildiğinde

a_{10} = 45 \cdot a_2

elde edilir.

a_2 = 4

değeri yerine konduğunda doğru sonuç 180 bulunur.

Verilen

a_{n+1} = \frac{n+1}{n-1} \cdot a_n

indirgeme ba��ıntısında

n

yerine sırasıyla

2, 3, 4, \dots, 9

değerleri yazılır.

a_3 = \frac{3}{1} a_2

a_4 = \frac{4}{2} a_3

a_5 = \frac{5}{3} a_4

\dots

a_{10} = \frac{10}{8} a_9

eşitlikleri elde edilir.

Teleskopik (zincirleme) sadeleştirme yapabilmek için terimler arasındaki geçiş bağıntıları listelenir.

Elde edilen tüm eşitlikler taraf tarafa çarpılır.

a_3 \cdot a_4 \cdots a_{10} = \left(\frac{3}{1} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdots \frac{10}{8}\right) a_2 \cdot a_3 \cdots a_9

elde edilir.

Çarpımsal olarak verilen ardışık terimlerin sadeleşmesini sağlamak amacıyla taraf tarafa çarpım uygulanır.

Eşitliğin her iki tarafındaki ortak

a_3, a_4, \dots, a_9

terimleri sadeleştirilir.

a_{10} = \left(\frac{3}{1} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{6}{4} \cdots \frac{9}{7} \cdot \frac{10}{8}\right) a_2

kalır.

İndirgemeli dizinin genel terimi ile başlangıç terimi arasındaki ilişkiyi yalnız bırakmak hedeflenir.

Kesirlerin çarpımındaki ardışık sadeleştirmeler yapılır.

Pay kısmında son iki terim (

9

10

), payda kısmında ise ilk iki terim (

1

2

) kalır. Buradan

a_{10} = \frac{9 \cdot 10}{1 \cdot 2} a_2 = 45 a_2

elde edilir.

Teleskopik çarpımın sadeleşme kuralına göre pay ve paydada kalan terimler belirlenir.

Başlangıç terimi

a_2 = 4

değeri yerine yazılarak

a_{10}

hesaplanır.

a_{10} = 45 \cdot 4 = 180

bulunur.

Soruda verilen başlangıç değeri kullanılarak nihai sonuca ulaşılır.

Çarpımsal İndirgemeli Dizilerde Teleskopik Çarpım ve Sadeleştirme Yöntemi

Soru