Examkin

Soru

Zorluk: ZorBelirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Gerçel sayılar kümesi üzerinde sürekli bir ff fonksiyonunun türevi her x≠1x \neq 1 için,
f′(x)={3x2−2x,x>12x+a,x<1f'(x) = \begin{cases} 3x^2 - 2x, & x > 1 \\ 2x + a, & x < 1 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

f(2)=6f(2) = 6 ve f(0)=−2f(0) = -2 olduğuna göre, f(−1)f(-1) değeri kaçtır?

  1. A
    -8
  2. -4Cevap
  3. C
    -2
  4. D
    0
  5. E
    4

Cevap

İntegral sabitleri ve fonksiyonun süreklilik şartı doğru uygulandığında elde edilen değer −4-4 olmalıdır.
Doğru cevaba ulaşmak için öncelikle her iki aralıkta ayrı ayrı belirsiz integral alınarak integral sabitleri belirlenir. x>1x > 1 aralığında f(2)=6f(2) = 6 kullanılarak birinci integral sabiti 22 olarak bulunur. x<1x < 1 aralığında f(0)=−2f(0) = -2 kullanılarak ikinci integral sabiti −2-2 olarak bulunur. Fonksiyon gerçel sayılar kümesi üzerinde sürekli olduğundan x=1x = 1 noktasındaki sağ ve sol limitlerin eşitliğinden a=3a = 3 değeri elde edilir. Buradan x<1x < 1 için f(x)=x2+3x−2f(x) = x^2 + 3x - 2 kuralına ulaşılır. Bu kuralda x=−1x = -1 yazılarak doğru yanıt olan −4-4 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
x>1x > 1 için belirsiz integrali alıp integral sabitini bulunuz.
f′(x)=3x2−2x⇒f(x)=x3−x2+C1f'(x) = 3x^2 - 2x \Rightarrow f(x) = x^3 - x^2 + C_1 elde edilir. f(2)=6f(2) = 6 verildiğinden, 23−22+C1=6⇒4+C1=6⇒C1=22^3 - 2^2 + C_1 = 6 \Rightarrow 4 + C_1 = 6 \Rightarrow C_1 = 2 bulunur. Dolayısıyla x>1x > 1 için f(x)=x3−x2+2f(x) = x^3 - x^2 + 2 olur.
Fonksiyonun x>1x > 1 bölgesindeki kuralını tam olarak belirlemek için integral sabitini bulmamız gerekir.
2
x<1x < 1 için belirsiz integrali alıp integral sabitini bulunuz.
f′(x)=2x+a⇒f(x)=x2+ax+C2f'(x) = 2x + a \Rightarrow f(x) = x^2 + ax + C_2 elde edilir. f(0)=−2f(0) = -2 verildiğinden, 02+a(0)+C2=−2⇒C2=−20^2 + a(0) + C_2 = -2 \Rightarrow C_2 = -2 bulunur. Dolayısıyla x<1x < 1 için f(x)=x2+ax−2f(x) = x^2 + ax - 2 olur.
Fonksiyonun x<1x < 1 bölgesindeki kuralını integral sabitiyle birlikte oluşturmak için bu adım gereklidir.
3
Süreklilik şartını kullanarak aa bilinmeyenini bulunuz.
ff fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğundan x=1x = 1 noktasında da süreklidir. Bu durumda sağdan limit soldan limite eşit olmalıdır: lim⁡x→1+f(x)=lim⁡x→1−f(x)⇒13−12+2=12+a(1)−2⇒2=a−1⇒a=3\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) \Rightarrow 1^3 - 1^2 + 2 = 1^2 + a(1) - 2 \Rightarrow 2 = a - 1 \Rightarrow a = 3 elde edilir.
Parçalı tanımlı fonksiyonların sınır noktasındaki sürekliliği, farklı bölgelerdeki kuralların birbirine bağlanmasını sağlar.
4
Belirlenen kuralda x=−1x = -1 yazarak sonucu hesaplayınız.
x<1x < 1 için f(x)=x2+3x−2f(x) = x^2 + 3x - 2 olduğundan, f(−1)=(−1)2+3(−1)−2=1−3−2=−4f(-1) = (-1)^2 + 3(-1) - 2 = 1 - 3 - 2 = -4 bulunur.
Soruda istenen hedef değere ulaşmak için kuralı belirlenmiş olan parçalı fonksiyonda uygun aralık kullanılır.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonların belirsiz integrali alınırken her bölge için ayrı bir integral sabiti yazılmalı ve bu sabitler fonksiyonun süreklilik şartı kullanılarak belirlenmelidir.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

Bu konudan daha fazla soru