Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSüreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonlarının her ikisi de x=ax = a noktasında süreksiz ise, (f+g)(f + g) toplam fonksiyonu da x=ax = a noktasında kesinlikle süreksizdir. Bu ifade matematiksel olarak doğru bir önerme midir?

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade yanlıştır (doğru bir önerme değildir).
Verilen önerme yanlıştır, çünkü bir noktada süreksiz olan iki fonksiyonun toplamı o noktada sürekli olabilir. Zıt yönlü sıçramalara sahip iki fonksiyonun toplamı bu sıçramaları birbirini sıfırlayacak şekilde nötrleyebilir.

Adım Adım Çözüm

1
Süreklilik ve süreksizlik tanımlarını belirlemek.
Bir fonksiyonun x=ax = a noktasında sürekli olması için o noktada tanımlı olması, limitinin bulunması ve limit değerinin fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması gerekir. Bu koşullardan en az birini sağlamayan fonksiyon süreksizdir.
Süreksiz iki fonksiyonun toplamının süreklilik durumunu incelemek için temel kriterleri belirlemek.
2
İfadenin her zaman doğru olmadığını göstermek için karşı örnek oluşturacak fonksiyonlar tasarlamak.
f(x)={1,x≥a−1,x<af(x) = \begin{cases} 1, & x \geq a \\ -1, & x < a \end{cases} ve g(x)={−1,x≥a1,x<ag(x) = \begin{cases} -1, & x \geq a \\ 1, & x < a \end{cases} fonksiyonları tanımlanır. Her iki fonksiyonun da x=ax = a noktasında sağ ve sol limitleri farklı olduğundan bu noktada süreksizdirler.
Her iki fonksiyonun da belirtilen noktada süreksiz olduğunu doğrulamak.
3
Bu iki fonksiyonun toplamını alarak toplam fonksiyonunun sürekliliğini incelemek.
(f+g)(x)=0(f+g)(x) = 0 sabit fonksiyonu elde edilir. Sabit fonksiyonlar tüm gerçek sayılar kümesinde sürekli olduğundan, toplam fonksiyonu x=ax = a noktasında süreklidir.
Süreksiz iki fonksiyonun toplamının sürekli olabileceğini göstererek önermenin yanlış olduğunu kanıtlamak.

Anahtar Kavram

Süreksiz iki fonksiyonun toplamının süreklilik durumu
Bu soruyu puanla

Konular

Süreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

Bu konudan daha fazla soru