Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

aa ve bb sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere, x2−ax+b≤0x^2 - ax + b \le 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi boş küme ise x2+ax+b≥0x^2 + ax + b \ge 0 eşitsizliği her xx gerçel sayısı için sağlanır.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen önerme doğrudur.
Verilen ifadenin diskriminantı negatif ve başkatsayısı pozitif olduğundan, her iki eşitsizlikteki ifadeler de daima pozitif değerler alır. Bu nedenle önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin çözüm kümesi bilgisini kullanarak diskriminantın işaretini belirleme.
x2−ax+b≤0x^2 - ax + b \le 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi boş kümedir. Bu, x2−ax+b>0x^2 - ax + b > 0 ifadesinin her x∈Rx \in \mathbb{R} için doğru olması demektir. İkinci dereceden bir ifadenin daima pozitif olması için başkatsayısının pozitif ve diskriminantının negatif olması gerektiğinden Δ=(−a)2−4⋅1⋅b=a2−4b<0\Delta = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot b = a^2 - 4b < 0 elde edilir.
İkinci dereceden bir ifadenin işaretinin daima pozitif kalabilmesi için xx eksenini kesmemesi gerekir, bu da diskriminantın negatif olmasını gerektirir.
2
İkinci eşitsizlikteki ifadenin diskriminantını hesaplama.
x2+ax+b≥0x^2 + ax + b \ge 0 eşitsizliğindeki üç terimlinin diskriminantı Δ2=a2−4⋅1⋅b=a2−4b\Delta_2 = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot b = a^2 - 4b olarak bulunur.
Yeni ifadenin işaret davranışını analiz edebilmek için diskriminantını hesaplamamız gerekir.
3
İki diskriminantı karşılaştırarak ikinci eşitsizliğin çözüm kümesini yorumlama.
İlk adımdan Δ=a2−4b<0\Delta = a^2 - 4b < 0 olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla Δ2=a2−4b<0\Delta_2 = a^2 - 4b < 0 olur. Başkatsayısı da 1>01 > 0 olduğundan, x2+ax+bx^2 + ax + b ifadesi her x∈Rx \in \mathbb{R} için daima pozitif (>0> 0) değerler alır. Bu da x2+ax+b≥0x^2 + ax + b \ge 0 eşitsizliğinin tüm gerçel sayılar için sağlandığını gösterir.
Negatif diskriminant ve pozitif başkatsayı, ifadenin her zaman pozitif olduğunu garanti eder.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerin daima sağlanması veya çözüm kümesinin boş küme olması durumlarında diskriminantın işaret analizi.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi