Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Birim çember üzerindeki ikinci bölgede yer alan bir PP noktasından çembere teğet olan doğru, koordinat eksenlerini sırasıyla A(x1,0)A(x_1, 0) ve B(0,y1)B(0, y_1) noktalarında kesmektedir. OPOP doğru parçasının xx-ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açı α\alpha olduğuna göre, köşeleri orijin, AA ve BB noktaları olan AOBAOB üçgeninin alanının α\alpha türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. −12sin⁡αcos⁡α-\frac{1}{2\sin\alpha\cos\alpha}Cevap
  2. B
    12sin⁡αcos⁡α\frac{1}{2\sin\alpha\cos\alpha}
  3. C
    −sin⁡αcos⁡α2-\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{2}
  4. D
    sin⁡αcos⁡α2\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{2}
  5. E
    −tan⁡αcot⁡α2-\frac{\tan\alpha\cot\alpha}{2}

Cevap

AOB üçgeninin alanının α\alpha türünden eşiti −12sin⁡αcos⁡α-\frac{1}{2\sin\alpha\cos\alpha} ifadesidir.
İkinci bölgedeki P(cos⁡α,sin⁡α)P(\cos\alpha, \sin\alpha) noktasından birim çembere çizilen teğet doğrusunun denklemi xcos⁡α+ysin⁡α=1x\cos\alpha + y\sin\alpha = 1 dir. Bu doğrunun eksenleri kestiği noktalar A(sec⁡α,0)A(\sec\alpha, 0) ve B(0,csc⁡α)B(0, \csc\alpha) dır. İkinci bölgede cos⁡α\cos\alpha negatif, sin⁡α\sin\alpha pozitif olduğundan ∣OA∣=−sec⁡α|OA| = -\sec\alpha ve ∣OB∣=csc⁡α|OB| = \csc\alpha uzunlukları elde edilir. AOBAOB dik üçgeninin alanı ise dik kenarların çarpımının yarısı olan −12sin⁡αcos⁡α-\frac{1}{2\sin\alpha\cos\alpha} ifadesine eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember üzerindeki PP noktasının koordinatlarını belirlemek.
PP noktasının koordinatları (cos⁡α,sin⁡α)(\cos\alpha, \sin\alpha) olur.
Teğet noktası kullanılarak teğet doğrusunun denklemini kurmak.
2
PP noktasındaki teğet doğrusunun denklemini yazmak ve eksenleri kestiği noktaları bulmak.
Teğet doğrusunun denklemi xcos⁡α+ysin⁡α=1x\cos\alpha + y\sin\alpha = 1 şeklindedir. y=0y=0 için A(sec⁡α,0)A(\sec\alpha, 0) ve x=0x=0 için B(0,csc⁡α)B(0, \csc\alpha) elde edilir.
Üçgenin dik kenarlarının koordinatlarını belirlemek.
3
Eksenlerin kesişimiyle oluşan AOBAOB üçgeninin alanını hesaplamak.
α\alpha açısı ikinci bölgede yer aldığından cos⁡α<0\cos\alpha < 0 ve sin⁡α>0\sin\alpha > 0 dır. Buradan ∣OA∣=−1cos⁡α|OA| = -\frac{1}{\cos\alpha} ve ∣OB∣=1sin⁡α|OB| = \frac{1}{\sin\alpha} elde edilir. Alan = 12⋅∣OA∣⋅∣OB∣=−12sin⁡αcos⁡α\frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |OB| = -\frac{1}{2\sin\alpha\cos\alpha} bulunur.
Uzunlukların pozitif olması zorunluluğunu göz önüne alarak dik üçgenin alan formülünü uygulamak.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların trigonometrik temsilleri ve teğet doğrularının geometrik uygulamaları.
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Bu konudan daha fazla soru