Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Matematik öğretmeni Selim Bey, tahtaya dört farklı ikinci dereceden fonksiyon tanımlamış ve öğrencilerinden bu fonksiyonların grafiklerinin koordinat eksenleriyle olan kesişim durumlarını incelemelerini istemiştir.

Buna göre, sol sütunda verilen parabol fonksiyonları ile sağ sütundaki eksenleri kesme özelliklerini doğru olacak şekilde eşleştiriniz.

  • f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3x-eksenini (1,0)(1, 0) ve (3,0)(3, 0) noktalarında, y-eksenini ise (0,3)(0, 3) noktasında keser.
  • g(x)=−x2+6x−9g(x) = -x^2 + 6x - 9x-eksenine x=3x = 3 apsisli noktada teğettir ve y-eksenini (0,−9)(0, -9) noktasında keser.
  • h(x)=2x2+4x−6h(x) = 2x^2 + 4x - 6x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 4 birimdir ve y-eksenini (0,−6)(0, -6) noktasında keser.
  • k(x)=x2−2x+5k(x) = x^2 - 2x + 5Koordinat eksenlerini sadece bir noktada keser ve bu kesim noktası (0,5)(0, 5)'tir.

Cevap

f(x) fonksiyonu x-eksenini (1, 0) ve (3, 0) noktalarında, y-eksenini ise (0, 3) noktasında keser. g(x) fonksiyonu x-eksenine x = 3 apsisli noktada teğettir ve y-eksenini (0, -9) noktasında keser. h(x) fonksiyonunun x-eksenini kestiği noktalar aras��ndaki uzaklık 4 birimdir ve y-eksenini (0, -6) noktasında keser. k(x) fonksiyonu koordinat eksenlerini sadece bir noktada keser ve bu kesim noktası (0, 5)'tir.
Verilen fonksiyonların her biri için x=0x=0 yazıldığında y-eksenini kestiği koordinatlar; y=0y=0 yazılıp çarpanlara ayrıldığında ise x-eksenini kestiği noktalar (veya teğetlik durumları) belirlenir. Hesaplamalar sonucunda: f(x) fonksiyonu eksenleri (0,3), (1,0) ve (3,0) noktalarında keser; g(x) fonksiyonu x-eksenine x=3'te teğet olup y-eksenini (0,-9)'da keser; h(x) fonksiyonu x-eksenini -3 ve 1 apsisli noktalarda (aralarındaki uzaklık 4 birim) ve y-eksenini (0,-6)'da keser; k(x) fonksiyonu ise reel kökü olmadığı için x-eksenini kesmeyip koordinat eksenlerini sadece (0,5) noktasında keser.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları bulalım.
y-eksenini kestiği nokta x=0x=0 için f(0)=3f(0) = 3 yani (0,3)(0,3)'tür. x-eksenini kestiği noktalar y=0y=0 için x2−4x+3=0  ⟹  (x−1)(x−3)=0  ⟹  x=1x^2-4x+3=0 \implies (x-1)(x-3)=0 \implies x=1 ve x=3x=3 yani (1,0)(1,0) ile (3,0)(3,0)'dır.
Eksen kesişimleri x=0x=0 ve y=0y=0 yazılarak belirlenir.
2
g(x)=−x2+6x−9g(x) = -x^2 + 6x - 9 fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları bulalım.
y-eksenini kestiği nokta x=0x=0 için g(0)=−9g(0) = -9 yani (0,−9)(0,-9)'dur. x-eksenini kestiği noktalar y=0y=0 için −(x−3)2=0  ⟹  x=3-(x-3)^2=0 \implies x=3 çift katlı köküdür. Bu, parabolün (3,0)(3,0) noktasında x-eksenine teğet olduğunu gösterir.
Çift katlı kök varlığı teğet olma durumunu ifade eder.
3
h(x)=2x2+4x−6h(x) = 2x^2 + 4x - 6 fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları ve kesişim noktaları arasındaki uzaklığı bulalım.
y-eksenini kestiği nokta x=0x=0 için h(0)=−6h(0) = -6 yani (0,−6)(0,-6)'dır. x-eksenini kestiği noktalar y=0y=0 için 2(x2+2x−3)=0  ⟹  2(x+3)(x−1)=0  ⟹  x=−32(x^2+2x-3)=0 \implies 2(x+3)(x-1)=0 \implies x=-3 ve x=1x=1'dir. Kesişim noktaları arasındaki uzaklık ∣1−(−3)∣=4|1 - (-3)| = 4 birimdir.
x-eksenini kestiği iki nokta arasındaki uzaklık, kökler farkının mutlak değeridir.
4
k(x)=x2−2x+5k(x) = x^2 - 2x + 5 fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları belirleyelim.
y-eksenini kestiği nokta x=0x=0 için k(0)=5k(0) = 5 yani (0,5)(0,5)'tir. x-eksenini kestiği noktalar y=0y=0 için x2−2x+5=0x^2-2x+5=0 denkleminin diskriminantı Δ=(−2)2−4(1)(5)=−16<0\Delta = (-2)^2 - 4(1)(5) = -16 < 0 olduğundan reel kökü yoktur. Grafik x-eksenini kesmez.
Negatif diskriminant reel kök olmadığını ve dolayısıyla x-ekseninin kesilmediğini gösterir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden fonksiyonların (parabollerin) y-eksenini kestiği noktanın (0,f(0))(0, f(0)) olması, x-eksenini kestiği noktaların ise fonksiyonun reel kökleri (veya teğetlik durumu) ve diskriminant ilişkisi ile bulunması.
Bu soruyu puanla

Konular

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Bu konudan daha fazla soru