Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
mm bir tam sayı olmak üzere,
f(x)=(x−2)(x−m)x−5≤0f(x) = \frac{(x-2)(x-m)}{x-5} \le 0
eşitsizliğini sağlayan xx doğal sayılarının sayısı 55 tir.
Buna göre, mm tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
  1. A
    10
  2. B
    11
  3. C
    12
  4. 13Cevap
  5. E
    15

Cevap

m tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 13'tür.
Doğru cevap olan 13 değeri, m tam sayısının alabileceği dört farklı değerin (7,3,2,17, 3, 2, 1) toplamıdır. Bu değerler, eşitsizliğin pay ve payda kökleri belirlenip, m'nin kritik sınırlar olan 2 ve 5'e göre büyüklük durumları ayrı ayrı incelendiğinde elde edilen aralıklardaki doğal sayı çözümlerinin sayılmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin köklerini belirleme
Payın sıfıra eşitlenmesiyle elde edilen kökler x=2x = 2 ve x=mx = m'dir. Paydanın sıfıra eşitlenmesiyle elde edilen kök ise x=5x = 5'tir. Payda kökü olan 55, paydayı tanımsız yapacağından çözüm kümesine dahil edilemez (x≠5x \ne 5).
Eşitsizlik tablosunun oluşturulabilmesi için pay ve paydanın kökleri ile tanımsızlık sınırları belirlenmelidir.
2
m>5m > 5 durumunu inceleme
Köklerin büyüklük sıralaması 2<5<m2 < 5 < m şeklindedir. İşaret tablosu en sağdan pozitif (+) işaret ile başlanarak oluşturulduğunda çözüm aralığı (−∞,2]∪(5,m](-\infty, 2] \cup (5, m] olarak bulunur. Bu aralıktaki doğal sayı çözümleri 0,1,20, 1, 2 (3 tane) ile 6,7,…,m6, 7, \dots, m değerleridir. Toplam 5 doğal sayı çözümü olabilmesi için (5,m](5, m] aralığından tam olarak 2 tane (66 ve 77) çözüm gelmelidir. Buradan m=7m = 7 bulunur.
m'nin 5'ten büyük olduğu durumda eşitsizliği sağlayan doğal sayıların adet analizi yapılır.
3
m=5m = 5 durumunu inceleme
Eşitsizlik f(x)=(x−2)(x−5)x−5≤0f(x) = \frac{(x-2)(x-5)}{x-5} \le 0 şeklini alır. x≠5x \ne 5 olmak üzere, ifade x−2≤0x - 2 \le 0 olur. Bu aralıktaki doğal sayı çözümleri 0,1,20, 1, 2 olup 3 adettir. Eşitsizliği sağlayan 5 doğal sayı bulunması koşulu sağlanmaz.
Pay ve paydada aynı kökün bulunması durumunda sadeleşen ifadenin çözüm kümesine etkisi kontrol edilir.
4
2<m<52 < m < 5 durumunu inceleme
m bir tam sayı olduğundan bu aralıkta m=3m = 3 veya m=4m = 4 olabilir. Köklerin sıralaması 2<m<52 < m < 5 şeklindedir. İşaret tablosuna göre çözüm aralığı (−∞,2]∪[m,5)(-\infty, 2] \cup [m, 5) olarak belirlenir. (−∞,2](-\infty, 2] aralığından 0,1,20, 1, 2 (3 tane) doğal sayı çözümü gelir. Toplam 5 çözüm olması için [m,5)[m, 5) aralığından 2 tane doğal sayı gelmelidir. m=3m = 3 için bu aralık [3,5)[3, 5) olup {3,4}\{3, 4\} çözümlerini sağlar. m=4m = 4 için aralık [4,5)[4, 5) olup tek çözüm (44) sağlar. Dolayısıyla m=3m = 3 elde edilir.
m'nin 2 ile 5 arasındaki tam sayı değerleri için doğal sayı çözüm sayısı test edilir.
5
m=2m = 2 durumunu inceleme
Eşitsizlik (x−2)2x−5≤0\frac{(x-2)^2}{x-5} \le 0 hâlini alır. x=2x = 2 pay kısmında çift katlı köktür. İşaret tablosunda x=2x = 2 noktasında işaret değişmez. Eşitsizliği sağlayan aralık (−∞,5)(-\infty, 5) olarak bulunur. Bu aralıktaki doğal sayı çözümleri 0,1,2,3,40, 1, 2, 3, 4 olup tam 5 adettir. Dolayısıyla m=2m = 2 bir çözümdür.
Çift katlı kök durumunun işaret tablosuna ve çözüm kümesine olan etkisi incelenir.
6
m<2m < 2 durumunu inceleme
Köklerin sıralaması m<2<5m < 2 < 5 şeklindedir. İşaret tablosuna göre çözüm aralığı (−∞,m]∪[2,5)(-\infty, m] \cup [2, 5) olarak belirlenir. [2,5)[2, 5) aralığındaki doğal sayı çözümleri 2,3,42, 3, 4 (3 tane) değerleridir. Toplam 5 doğal sayı çözümü olması için (−∞,m](-\infty, m] aralığından tam olarak 2 tane (00 ve 11) doğal sayı gelmelidir. Bu durumun sağlanması için m=1m = 1 olmalıdır.
m'nin 2'den küçük olduğu durumda çözüm kümesindeki doğal sayıların adet kontrolü yapılır.
7
Alınabilecek değerlerin toplamını hesaplama
m tam sayısının alabileceği farklı değerler 7,3,2,17, 3, 2, 1 olarak belirlenmiştir. Bu değerlerin toplamı 7+3+2+1=137 + 3 + 2 + 1 = 13 bulunur.
Soruda istenen m tam sayılarının toplam değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden ve rasyonel eşitsizliklerde köklerin sıralamasına göre işaret tablosu oluşturulması, çift katlı köklerin ve payda köklerinin çözüm kümesine dahil edilme kurallarının uygulanması.
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi