Examkin

Soru

Zorluk: ZorParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar
Dik koordinat düzleminde, kk bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=−x2+(k−2)x+2kf(x) = -x^2 + (k-2)x + 2k
parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktalar AA, BB ve CC'dir. CC noktası yy-ekseni üzerinde olup, parabol üzerinde CC noktasından farklı ve ordinatı CC ile aynı olan nokta DD olarak adlandırılıyor.

Köşeleri A,B,CA, B, C ve DD noktaları olan dörtgenin alanı 3232 birimkare olduğuna göre, kk gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

  1. -16Cevap
  2. B
    -8
  3. C
    -32
  4. D
    -4
  5. E
    -64

Cevap

-16
Parabolün eksenleri kestiği noktalar A(−2,0)A(-2, 0), B(k,0)B(k, 0), C(0,2k)C(0, 2k) ve ordinatı CC ile aynı olan diğer noktası D(k−2,2k)D(k-2, 2k) doğru şekilde belirlenmiştir. Bu noktaların oluşturduğu yamuğun alanı kk cinsinden ∣k∣(∣k+2∣+∣k−2∣)=32|k|(|k+2| + |k-2|) = 32 olarak ifade edilir. Bu denklem çözüldüğünde kk sayısı 44 ve −4-4 değerlerini alabilir. Bu değerlerin çarpımı −16-16 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleme.
yy-eksenini kestiği nokta için x=0x=0 yazılırsa f(0)=2kf(0) = 2k olduğundan C(0,2k)C(0, 2k) olur. xx-eksenini kestiği noktalar için f(x)=0f(x)=0 denklemi çözülürse: −x2+(k−2)x+2k=0  ⟹  x2−(k−2)x−2k=0  ⟹  (x−k)(x+2)=0-x^2 + (k-2)x + 2k = 0 \implies x^2 - (k-2)x - 2k = 0 \implies (x-k)(x+2) = 0 elde edilir. Buradan kökler x1=−2x_1 = -2 ve x2=kx_2 = k bulunur. Yani A(−2,0)A(-2, 0) ve B(k,0)B(k, 0) noktaları elde edilir.
Dörtgenin köşelerini oluşturan AA, BB ve CC noktalarının koordinatlarını bulmak için.
2
DD noktasının koordinatlarını bulma.
DD noktasının ordinatı CC ile aynı olduğundan yD=2ky_D = 2k olmalıdır. −x2+(k−2)x+2k=2k  ⟹  −x2+(k−2)x=0  ⟹  −x(x−(k−2))=0-x^2 + (k-2)x + 2k = 2k \implies -x^2 + (k-2)x = 0 \implies -x(x - (k-2)) = 0 denklemi elde edilir. DD noktası CC'den farklı olduğundan x≠0x \neq 0 olmalıdır, bu yüzden xD=k−2x_D = k-2 bulunur. Dolayısıyla D(k−2,2k)D(k-2, 2k) noktası elde edilir.
Dörtgenin son köşesi olan DD noktasının yerini belirlemek için.
3
ABCDABCD dörtgeninin yapısını ve alan formülünü oluşturma.
A(−2,0)A(-2, 0) ve B(k,0)B(k, 0) noktaları y=0y=0 (xx-ekseni) doğrusu üzerindedir. C(0,2k)C(0, 2k) ve D(k−2,2k)D(k-2, 2k) noktaları y=2ky=2k doğrusu üzerindedir. Bu iki doğru birbirine paralel oldu��undan ABCDABCD bir yamuktur. Yamuğun alt taban uzunluğu ∣AB∣=∣k−(−2)∣=∣k+2∣|AB| = |k - (-2)| = |k+2|, üst taban uzunluğu ∣CD∣=∣(k−2)−0∣=∣k−2∣|CD| = |(k-2) - 0| = |k-2| ve yüksekliği h=∣2k−0∣=∣2k∣h = |2k - 0| = |2k| birimdir. Yamuğun alan formülü: Alan(ABCD)=∣AB∣+∣CD∣2⋅h=∣k+2∣+∣k−2∣2⋅∣2k∣=∣k∣(∣k+2∣+∣k−2∣)\text{Alan}(ABCD) = \frac{|AB| + |CD|}{2} \cdot h = \frac{|k+2| + |k-2|}{2} \cdot |2k| = |k|(|k+2| + |k-2|) olur.
Dörtgenin bir yamuk olduğunu belirleyip alanını kk cinsinden ifade etmek için.
4
Alan denklemini çözerek kk değerlerini bulma.
∣k∣(∣k+2∣+∣k−2∣)=32|k|(|k+2| + |k-2|) = 32 denklemini çözeriz:
- k≥2k \geq 2 ise: k(k+2+k−2)=32  ⟹  2k2=32  ⟹  k2=16  ⟹  k=4k(k+2 + k-2) = 32 \implies 2k^2 = 32 \implies k^2 = 16 \implies k = 4 (aralığa uygundur).
- 0≤k<20 \leq k < 2 ise: k(k+2+2−k)=32  ⟹  4k=32  ⟹  k=8k(k+2 + 2-k) = 32 \implies 4k = 32 \implies k = 8 (aralığa uygun değildir).
- −2≤k<0-2 \leq k < 0 ise: −k(k+2+2−k)=32  ⟹  −4k=32  ⟹  k=−8-k(k+2 + 2-k) = 32 \implies -4k = 32 \implies k = -8 (aralığa uygun değildir).
- k<−2k < -2 ise: −k(−k−2+2−k)=32  ⟹  2k2=32  ⟹  k2=16  ⟹  k=−4-k(-k-2 + 2-k) = 32 \implies 2k^2 = 32 \implies k^2 = 16 \implies k = -4 (aralığa uygundur).
Böylece kk sayısının alabileceği farklı değerler 44 ve −4-4 olarak bulunur. Bu değerlerin çarpımı ise 4⋅(−4)=−164 \cdot (-4) = -16 olur.
Alanın 3232 birimkare olmasını sağlayan tüm gerçel kk değerlerini bulup çarpmak için.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların bulunması ve bu noktaların analitik düzlemde geometrik şekiller oluşturacak şekilde kullanılması.
Bu soruyu puanla

Konular

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Bu konudan daha fazla soru