f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3}, & x < 3 \\ a, & x = 3 \\ x^2 - bx + 3, & x > 3… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3}, & x < 3 \\ a, & x = 3 \\ x^2 - bx + 3, & x > 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanan

f

fonksiyonu her

x

gerçel sayısı için süreklidir. Buna göre,

a + b

toplamı kaçtır?

Doğru cevap 8'dir.

Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için kritik nokta olan

x=3

noktasında sağdan limiti, soldan limiti ve fonksiyon değeri eşit olmalıdır. Soldan limit

\lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3^-} (x+3) = 6

olarak bulunur. Dolayısıyla

f(3) = a = 6

olmalıdır. Sağdan limit

\lim_{x \to 3^+} (x^2 - bx + 3) = 12 - 3b

olur. Bu değerlerin eşitliğinden

12 - 3b = 6 \implies b = 2

elde edilir. Buradan

a+b = 6+2 = 8

bulunur. Bu nedenle doğru cevap 8 seçeneğidir.

x < 3

için limit değerini hesaplamak amacıyla soldan limit alınır ve

\frac{0}{0}

belirsizliği sadeleştirme yoluyla giderilir.

\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3^-} (x+3) = 6

Fonksiyonun

x=3

noktasında sürekli olması için bu noktadaki soldan limitinin var ve tanımlı olması gerekir.

Süreklilik tanımı gereği, fonksiyonun

x=3

noktasındaki değeri soldan limite eşitlenerek

a

parametresi bulunur.

f(3) = a \implies a = 6

Sürekli bir fonksiyonun bir noktadaki değeri, o noktadaki limit değerine eşit olmalıdır.

x > 3

için sağdan limit alınır ve bu limit değeri de

6

olarak bulunan limit değerine eşitlenerek

b

parametresi hesaplanır.

\lim_{x \to 3^+} (x^2 - bx + 3) = 9 - 3b + 3 = 12 - 3b

12 - 3b = 6 \implies 3b = 6 \implies b = 2

Sürekliliğin sağlanması için sağdan limitin de soldan limit ve fonksiyon değerine eşit olması şarttır.

Bulunan

a

b

değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.

a + b = 6 + 2 = 8

Soruda bizden istenen toplamın değerini bulmak.

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağdan limiti, soldan limiti ve fonksiyonun o noktadaki değeri birbirine eşit olmalıdır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru