Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(x) = \int (3x^2 - 6x) \, dx\neşitliği veriliyor. f fonksiyonunun yerel ekstremum değerlerinin çarpımı 5 olduğuna göre, f(0) değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(x) = \int… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

f(x) = \int (3x^2 - 6x) \, dx

eşitliği veriliyor.

$f$ fonksiyonunun yerel ekstremum değerlerinin çarpımı $5$ olduğuna göre, $f(0)$ değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Verilen integral ifadesinin kurallara uygun şekilde hesaplanmasıyla

f(x) = x^3 - 3x^2 + C

fonksiyonu elde edilir. Fonksiyonun yerel ekstremum noktaları türevi sıfır yapan

x=0

x=2

noktalarıdır. Bu noktalardaki değerler sırasıyla

C

C-4

olur. Bu değerlerin çarpımı olan

C(C-4) = 5

denklemi çözüldüğünde

C = 5

veya

C = -1

bulunur.

f(0) = C

olduğundan,

f(0)

değeri 5 olabilir.

Belirsiz integral alma kuralları uygulanarak f(x) fonksiyonu genel biçimde yazılır.

f(x) = x^3 - 3x^2 + C

(

C

integral sabitidir.)

İntegral alma kuralları gereği, dereceler bir artırılarak katsayılara bölünür ve belirsiz integral sabiti eklenir.

Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için türevinin sıfır olduğu noktalar belirlenir.

f'(x) = 3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0

x = 2

noktaları elde edilir.

Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, türevinin sıfır olduğu ve işaret değiştirdiği noktalardır.

Yerel ekstremum değerleri elde edilir ve çarpımları 5'e eşitlenerek C sabiti hesaplanır.

f(0) = C

f(2) = 2^3 - 3(2^2) + C = C - 4

olur. Bu değerlerin çarpımı:

C(C - 4) = 5 \implies C^2 - 4C - 5 = 0 \implies (C - 5)(C + 1) = 0

denkleminden

C = 5

veya

C = -1

bulunur.

f(0) = C

olduğundan

f(0)

değeri 5 olabilir.

Soruda yerel ekstremum değerlerinin çarpımının 5 olduğu belirtilmiştir. Bu durum C'ye bağlı ikinci dereceden bir denklem oluşturur.

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

Tahmini Süre:2m 0s