Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonu f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - ax + 3}{x - 3}, & x 3 \end{cases} biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, a + b + c toplamı kaçtır?

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonu f(x) = \begin{cases} \f… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir $f$ fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - ax + 3}{x - 3}, & x < 3 \\ b, & x = 3 \\ \frac{c\sqrt{2x + 3} - 3c}{x^2 - 5x + 6}, & x > 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $a + b + c$ toplamı kaçtır?

Cevap: 12

Cevap

Fonksiyonun tüm gerçek sayılarda sürekli olması, kritik nokta olan x = 3 noktasında da sürekli olmasını gerektirir. Süreklilik tanımına göre soldan limit, sağdan limit ve fonksiyonun o noktadaki değeri birbirine eşit olmalıdır. Sol limitin varlığından a = 4 ve limit değeri 2 bulunur. Buradan f(3) = b = 2 olur. Sağ limitin hesaplanmasında 0/0 belirsizliği giderilerek limit c/3 bulunur. c/3 = 2 eşitliğinden c = 6 elde edilir. Sonuç olarak a + b + c = 4 + 2 + 6 = 12 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

f(x) fonksiyonunun x = 3 noktasındaki soldan limitini inceleyerek a parametresini ve limit değerini belirlemek.

a = 4 ve soldan limit değeri 2 olarak bulunur.

Fonksiyonun x = 3 noktasında limitinin olması için sol limitin tanımlı olması gerekir. Payda x = 3 için sıfır olduğundan, limitin bir gerçel sayıya eşit olabilmesi için payın da sıfır olması gerekir. 3^2 - 3a + 3 = 0 denkleminden a = 4 elde edilir. Bu durumda limit lim_{x -> 3^-} (x^2 - 4x + 3)/(x - 3) = lim_{x -> 3^-} (x - 1) = 2 olur.

Bulunan soldan limit değerini f(3) değerine eşitleyerek b parametresini belirlemek.

b = 2 olarak bulunur.

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki limitinin fonksiyonun o noktadaki görüntüsüne eşit olması şarttır. Soldan limit değeri 2 olduğundan ve f(3) = b olarak tanımlandığından b = 2 olmalıdır.

f(x) fonksiyonunun x = 3 noktasındaki sağdan limitini hesaplayarak c parametresini belirlemek.

c = 6 olarak bulunur.

x -> 3^+ için sağdan limit hesaplandığında 0/0 belirsizliği ortaya çıkar. Belirsizliği gidermek amacıyla pay ve payda (sqrt(2x + 3) + 3) ile çarpılarak sadeleştirme yapılır. limit değeri c/3 olarak elde edilir. Süreklilik şartı gereği sağdan limit de f(3) = 2 değerine eşit olmalıdır. Buradan c/3 = 2 denklemi ile c = 6 bulunur.

Elde edilen a, b ve c parametre değerlerinin toplamını hesaplamak.

a + b + c = 12 olarak bulunur.

a = 4, b = 2 ve c = 6 değerlerinin toplamı istenen sonucu verir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit ve bu ortak limit değerinin fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması gerekir. Limit hesaplarında karşılaşılan 0/0 belirsizlikleri çarpanlara ayırma ve köklü ifadelerde eşlenik kullanımıyla çözülür.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru