Examkin

Soru

Zorluk: ZorGeometrik Dizi ve Özellikleri

Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisi için dik koordinat düzleminde Pn(n,log⁡2(an))P_n(n, \log_2(a_n)) noktaları tanımlanıyor. Bu noktaların tamamı aynı doğru üzerinde olup P2P_2 ve P5P_5 noktalarından geçen doğrunun eğimi 22'dir. a1⋅a3=64a_1 \cdot a_3 = 64 olduğuna göre, aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun sayılarla doldurunuz.

Cevap:Bu geometrik dizinin ortak çarpanı 【4】 ve altıncı terimi olan a6a_6 değeri 【2048】 olur.

Cevap

Dizinin ortak çarpanı 4, altıncı terimi ise 2048'dir.
Koordinat düzlemindeki noktaların doğrusallığı ve eğim formülü kullanılarak log⁡2(r)=2\log_2(r) = 2 elde edilir ve ortak çarpan r=4r=4 bulunur. Geometrik dizinin ardışık terim özelliği gereği a22=a1⋅a3=64a_2^2 = a_1 \cdot a_3 = 64 bağıntısından a2=8a_2 = 8 ve dolayısıyla a1=2a_1 = 2 bulunur. Genel terim formülüyle a6=a1⋅r5=2048a_6 = a_1 \cdot r^5 = 2048 hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrunun eğimi ile ortak çarpan arasındaki ilişkiyi kurma
m=log⁡2(r)=2m = \log_2(r) = 2 olup buradan dizinin ortak çarpanı r=4r = 4 olarak bulunur.
Pn(n,log⁡2(an))P_n(n, \log_2(a_n)) noktalarının doğrusal olması, yn=log⁡2(an)y_n = \log_2(a_n) dizisinin bir aritmetik dizi olduğunu gösterir. İki nokta arasındaki doğrunun eğimi, bu aritmetik dizinin ortak farkına eşittir: m=log⁡2(a5)−log⁡2(a2)5−2=log⁡2(a5/a2)3=log⁡2(r3)3=log⁡2(r)m = \frac{\log_2(a_5) - \log_2(a_2)}{5 - 2} = \frac{\log_2(a_5 / a_2)}{3} = \frac{\log_2(r^3)}{3} = \log_2(r).
2
Dizinin terimleri arasındaki geometrik ortalama özelliğini kullanma
a2=8a_2 = 8 olarak bulunur.
Geometrik dizilerde birbirine eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı özelliğinden dolayı a1⋅a3=a22a_1 \cdot a_3 = a_2^2 olur. a22=64a_2^2 = 64 ve dizi pozitif terimli olduğundan a2=8a_2 = 8 elde edilir.
3
Dizinin ilk terimini bulma
a1=2a_1 = 2 olarak bulunur.
a2=a1⋅ra_2 = a_1 \cdot r bağıntısı kullanılarak 8=a1⋅4⇒a1=28 = a_1 \cdot 4 \Rightarrow a_1 = 2 bulunur.
4
Altıncı terimi (a6a_6) hesaplama
a6=2048a_6 = 2048 olarak bulunur.
Geometrik dizinin genel terim formülü olan an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} kullanılarak a6=a1⋅r5=2⋅45=2⋅1024=2048a_6 = a_1 \cdot r^5 = 2 \cdot 4^5 = 2 \cdot 1024 = 2048 hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin tanımı, terimleri arasındaki oran ve logaritma ile ilişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Dizi ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru