Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir g fonksiyonu için g(4) = 3 ve… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir $g$ fonksiyonu için $g(4) = 3$ ve $g'(4) = -2$ eşitlikleri veriliyor.

f(x) = (x^3 - x) \cdot g(x^2)

biçiminde tanımlanan $f$ fonksiyonu için $f'(2)$ değeri kaçtır?

-15 değeri doğrudur.

Çarpımın türevi ve zincir kuralı doğru bir şekilde uygulanarak türev fonksiyonu

f'(x) = (3x^2 - 1) \cdot g(x^2) + (x^3 - x) \cdot g'(x^2) \cdot 2x

olarak bulunur. Burada

x = 2

yazıldığında

f'(2) = 11 \cdot g(4) + 24 \cdot g'(4)

elde edilir.

g(4) = 3

g'(4) = -2

değerleri yerlerine yazıldığında

33 - 48 = -15

sonucuna ulaşılır.

Çarpım türevi kuralını uygulayarak fonksiyonun türev ifadesini yazın.

f'(x) = [x^3 - x]' \cdot g(x^2) + (x^3 - x) \cdot [g(x^2)]'

f(x) = u(x) \cdot v(x)

biçimindeki fonksiyonların türevi

f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)

formülü ile bulunur.

Bileşenlerin türevlerini hesaplayarak türev ifadesini düzenleyin.

[x^3 - x]' = 3x^2 - 1

ve zincir kuralı yardımıyla

[g(x^2)]' = g'(x^2) \cdot 2x

olur. Bu durumda genel türev ifadesi:

f'(x) = (3x^2 - 1) \cdot g(x^2) + (x^3 - x) \cdot g'(x^2) \cdot 2x

olarak elde edilir.

Temel türev alma kuralları ve bileşke fonksiyonun türevi (zincir kuralı) kurallarının uygulanması gerekir.

x = 2

değerini türev fonksiyonunda yerine yazın ve bilinen değerleri uygulayın.

f'(2) = (3(2)^2 - 1) \cdot g(2^2) + (2^3 - 2) \cdot g'(2^2) \cdot 2(2) = 11 \cdot g(4) + 6 \cdot g'(4) \cdot 4 = 11 \cdot g(4) + 24 \cdot g'(4)

olur. Verilen

g(4) = 3

g'(4) = -2

değerleri yerine yazıldığında:

f'(2) = 11 \cdot 3 + 24 \cdot (-2) = 33 - 48 = -15

bulunur.

İstenen noktadaki türev değerini bulmak için fonksiyondaki

x

değişkeninin yerine

2

yazılır ve verilen fonksiyon değerleri kullanılır.

Çarpımın türevi ve bileşke fonksiyonun türevi (zincir kuralı) kurallarının bir arada uygulanması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru