Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorGeometrik Dizi ve Özellikleri

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin tüm terimleri pozitif gerçek sayılardır. Bu dizinin ilk beş teriminin toplamı 3131 ve bu beş terimin her birinin çarpmaya göre terslerinin toplamı 3116\frac{31}{16} olarak veriliyor.

Dizi artan olduğuna ve a1+a5=17a_1 + a_5 = 17 eşitliği sağlandığına göre, bu dizinin sekizinci terimi (a8a_8) kaçtır?

Cevap: 128

Cevap

Dizinin sekizinci terimi 128'dir.
Çözüm adımları takip edildiğinde, geometrik dizinin terimleri ile terslerinin toplamı arasındaki ilişkiden a1⋅a5=16a_1 \cdot a_5 = 16 elde edilir. Verilen a1+a5=17a_1 + a_5 = 17 bilgisi ve dizinin artan olması kullanılarak a1=1a_1 = 1 ve a5=16a_5 = 16 bulunur. Buradan ortak çarpan r=2r = 2 olarak belirlenir. Bu değerler kullanılarak dizinin sekizinci terimi a8=a1⋅r7=128a_8 = a_1 \cdot r^7 = 128 olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk 5 terimin toplamı (S5S_5) ile bu terimlerin çarpmaya göre terslerinin toplamı (T5T_5) arasındaki genel ili��kiyi kurmak.
a1⋅a5=16a_1 \cdot a_5 = 16 elde edilir.
Bir geometrik dizide terimler toplamı Sn=a1rn−1r−1S_n = a_1 \frac{r^n-1}{r-1} ve tersleri toplam�� Tn=1a11−(1/r)n1−(1/r)=Sna1⋅anT_n = \frac{1}{a_1} \frac{1-(1/r)^n}{1-(1/r)} = \frac{S_n}{a_1 \cdot a_n} şeklindedir. Buradan T5=S5a1⋅a5  ⟹  3116=31a1⋅a5  ⟹  a1⋅a5=16T_5 = \frac{S_5}{a_1 \cdot a_5} \implies \frac{31}{16} = \frac{31}{a_1 \cdot a_5} \implies a_1 \cdot a_5 = 16 bulunur.
2
Ortadaki terim olan a3a_3 değerini bulmak.
a3=4a_3 = 4 bulunur.
Geometrik dizilerde baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı birbirine eşittir, yani a1⋅a5=a32a_1 \cdot a_5 = a_3^2. Buradan a32=16a_3^2 = 16 ve terimler pozitif olduğu için a3=4a_3 = 4 olur.
3
a1⋅a5=16a_1 \cdot a_5 = 16 ve a1+a5=17a_1 + a_5 = 17 denklem sistemini çözerek birinci ve beşinci terimleri belirlemek.
a1=1a_1 = 1 ve a5=16a_5 = 16 bulunur.
Çarpımları 16, toplamları 17 olan sayılar 1 ve 16'dır. Dizi artan olduğu için küçük olan terim birinci terim, büyük olan ise beşinci terim olmalıdır. Dolayısıyla a1=1a_1 = 1 ve a5=16a_5 = 16 olur.
4
Dizinin ortak çarpanını (rr) bulmak.
r=2r = 2 bulunur.
a5=a1⋅r4  ⟹  16=1⋅r4  ⟹  r4=16a_5 = a_1 \cdot r^4 \implies 16 = 1 \cdot r^4 \implies r^4 = 16 olur. Terimler pozitif olduğundan ortak çarpan r=2r = 2 olarak elde edilir.
5
Dizinin sekizinci terimini (a8a_8) hesaplamak.
a8=128a_8 = 128 bulunur.
a8=a1⋅r7a_8 = a_1 \cdot r^7 formülü kullanılarak a8=1⋅27=128a_8 = 1 \cdot 2^7 = 128 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde terimler toplamı ile çarpmaya göre terslerinin toplamı arasındaki ilişki ve genel terim özellikleri.
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Dizi ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru