Examkin

Soru

Zorluk: Zorİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
mm bir gerçel sayı olmak üzere,
x2−2(m+1)x+m2+2m−3<0x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2m - 3 < 0
eşitsizliğini sağlayan en az bir negatif gerçel sayı var iken, bu eşitsizliği sağlayan hiçbir pozitif gerçel sayı bulunmamaktadır.

Buna göre, mm parametresinin alabileceği değerlerin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. (−∞,−3](-\infty, -3]Cevap
  2. B
    (−∞,−3)(-\infty, -3)
  3. C
    (−∞,1)(-\infty, 1)
  4. D
    [−3,1)[-3, 1)
  5. E
    (−∞,−1](-\infty, -1]

Cevap

Sonsuzdan −3-3 değerine kadar olan (ve −3-3'ü dahil eden) yarı açık aralıktır.
Sonsuzdan başlayıp −3-3 sınır değerine kadar giden (ve −3-3'ü dahil eden) yarı açık aralık doğrudur. Çünkü bu aralıktaki herhangi bir mm değeri için çözüm kümesi (m−1,m+3)(m-1, m+3) tamamen negatif bölgede kalır ve en az bir negatif sayı içerirken hiçbir pozitif sayı barındırmaz.

Adım Adım Çözüm

1
E��itsizliğin sol tarafındaki ifadenin köklerini çarpanlara ayırma veya diskriminant yöntemiyle bulalım.
x2−2(m+1)x+m2+2m−3=0x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2m - 3 = 0 denkleminin kökleri tam kareye tamamlama yöntemiyle (x−(m+1))2−4=0(x - (m+1))^2 - 4 = 0 şeklinde yazılabilir. Buradan x−(m+1)=±2x - (m+1) = \pm 2 elde edilir. Kökler x1=m−1x_1 = m - 1 ve x2=m+3x_2 = m + 3 olarak bulunur.
Eşitsizliğin çözüm kümesini belirlemek için öncelikle sınır değerleri olan kökleri bulmamız gerekir.
2
İşaret tablosunu oluşturup eşitsizliğin çözüm kümesini ifade edelim.
x2x^2 teriminin katsayısı pozitif (1>01 > 0) olduğu için işaret tablosu en sağdan ++ ile başlar: +∣−∣++ \mid - \mid +. Eşitsizlik sıfırdan küçük (<0< 0) değerleri aradığından çözüm kümesi x1x_1 ve x2x_2 köklerinin arasındaki açık aralıktır: Ç.K. = (m−1,m+3)(m - 1, m + 3).
İkinci dereceden ifadenin işaret incelemesini yaparak negatif olduğu bölgeyi saptamak için.
3
Çözüm kümesinde en az bir negatif gerçel sayı bulunması ko��ulunu inceleyelim.
(m−1,m+3)(m - 1, m + 3) aralığında en az bir negatif sayı bulunabilmesi için aralığın sol ucunun sıfırdan küçük olması yeterlidir. Buradan m−1<0  ⟹  m<1m - 1 < 0 \implies m < 1 elde edilir. Aralık genişliği 44 birim sabit olduğundan, sol uç negatif olduğunda aralık içinde mutlaka negatif sayılar yer alır.
İlk koşulun mm parametresi üzerindeki sınırlandırmasını belirlemek için.
4
Çözüm kümesinde hiçbir pozitif gerçel sayı bulunmaması koşulunu inceleyelim.
(m−1,m+3)(m - 1, m + 3) aralığında hiçbir pozitif sayı bulunmaması için bu aralığın pozitif gerçel sayılar kümesi (0,∞)(0, \infty) ile kesişimi boş küme olmalıdır. Bu durum aralığın sağ ucunun sıfıra eşit veya sıfırdan küçük olmasıyla sağlanır: m+3≤0  ⟹  m≤−3m + 3 \le 0 \implies m \le -3. Burada aralık açık aralık olduğu için sağ uç sıfır olduğunda çözüm kümesi (m−1,0)(m-1, 0) olur ve bu kümede yine pozitif sayı bulunmaz, bu yüzden eşitlik dahil edilir.
İkinci koşulun mm parametresi üzerindeki sınırlandırmasını belirlemek için.
5
Bulunan iki koşulun kesişimini alarak mm parametresinin en geniş aralığını bulalım.
m<1m < 1 ve m≤−3m \le -3 eşitsizliklerinin her ikisini de sağlayan değerler kümesi m≤−3m \le -3 aralığıdır. Bu aralık aralık gösterimiyle (−∞,−3](-\infty, -3] şeklinde yazılır.
Her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerektiği için kesişim kümesini elde etmek amacıyla.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerde işaret tablosu oluşturma, köklerin bulunması ve sınır koşullarına göre çözüm kümesinin parametrik incelenmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi