Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
xx bir gerçel sayı ve mm bir parametre olmak üzere,
x2−2x−8x2−mx+m+3≤0\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - mx + m + 3} \leq 0
eşitsizliğinin gerçel sayılardaki en geniş çözüm kümesi [−2,4][-2, 4] kapalı aralığıdır.

Buna göre, mm parametresinin alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    (−6,2)(-6, 2)
  2. B
    [−2,6][-2, 6]
  3. (−2,6)(-2, 6)Cevap
  4. D
    [−6,2][-6, 2]
  5. E
    (−3,6)(-3, 6)

Cevap

(−2,6)(-2, 6) açık aralığı
Doğru cevap olan (−2,6)(-2, 6) açık aralığıdır. Payda olan x2−mx+m+3x^2 - mx + m + 3 ifadesinin reel kökü olmaması (yani \Delta < 0 olması) durumunda payda daima pozitif olur. Bu durumda rasyonel ifadenin işareti sadece pay kısmındaki x2−2x−8x^2 - 2x - 8 ifadesine bağlı kalır ve çözüm kümesi tam olarak [−2,4][-2, 4] olur. \Delta < 0 koşulundan m2−4m−12<0m^2 - 4m - 12 < 0 elde edilir, bu eşitsizliğin çözümü de (−2,6)(-2, 6) açık aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadenin köklerini bulmak ve işaretini incelemek.
x2−2x−8=0  ⟹  (x−4)(x+2)=0x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x - 4)(x + 2) = 0 denkleminden kökler x1=−2x_1 = -2 ve x2=4x_2 = 4 olarak bulunur. Bu ifade [−2,4][-2, 4] aralığında sıfırdan küçük veya eşittir, bu aralığın dışındaki gerçel sayılar için ise pozitiftir.
Rasyonel ifadenin tamamının \leq 0 olabilmesi için pay ve paydanın işaret durumlarını belirlememiz gerekir.
2
Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesinin [−2,4][-2, 4] kapalı aralığı olması koşulunu değerlendirmek.
Çözüm kümesinin tam olarak [−2,4][-2, 4] olabilmesi için, payda olan x2−mx+m+3x^2 - mx + m + 3 ifadesinin her xx gerçel sayısı için daima pozitif (> 0) olması gerekir.
Eğer payda herhangi bir noktada sıfır veya negatif değer alsaydı, bu nokta çözüm kümesini daraltır (payda sıfır ise tanımsızlık) ya da [−2,4][-2, 4] aralığı dışındaki bazı noktaların da çözüm kümesine dahil olmasına yol açardı.
3
Paydanın daima pozitif olma koşulunu matematiksel olarak uygulamak.
x2−mx+m+3>0x^2 - mx + m + 3 > 0 ifadesinde başkatsayı 1>01 > 0 olduğundan, ifadenin daima pozitif olması için diskriminantının sıfırdan küçük olması gerekir: \Delta < 0.
Δ=(−m)2−4(1)(m+3)<0  ⟹  m2−4m−12<0\Delta = (-m)^2 - 4(1)(m + 3) < 0 \implies m^2 - 4m - 12 < 0
İkinci dereceden bir ifadenin her x gerçel sayısı için daima pozitif olması, grafiğinin (parabolün) x eksenini kesmemesi ve kollarının yukarı doğru olması anlamına gelir. Bu da reel kök olmaması (\Delta < 0) ile sağlanır.
4
Elde edilen m'ye bağlı ikinci dereceden eşitsizliği çözmek.
m2−4m−12<0  ⟹  (m−6)(m+2)<0m^2 - 4m - 12 < 0 \implies (m - 6)(m + 2) < 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Kökler m=−2m = -2 ve m=6m = 6 olup, işaret tablosuna göre eşitsizliği sağlayan en geniş aralık (−2,6)(-2, 6) açık aralığıdır.
Çözüm kümesinde tanımsızlık yaratacak herhangi bir reel kök bulunmaması için sınır değerleri olan -2 ve 6 aralığa dahil edilmemelidir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden rasyonel eşitsizliklerde paydanın daima pozitif olma (reel kökünün olmama) koşulunun incelenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi