Examkin

Soru

Zorluk: Kolayİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
x2−4x+4x−5<0\frac{x^2 - 4x + 4}{x - 5} < 0

eşitsizliğini sağlayan farklı pozitif tam sayı değerlerinin sayısı kaçtır?
  1. A
    1
  2. B
    2
  3. 3Cevap
  4. D
    4
  5. E
    5

Cevap

Eşitsizliği sağlayan farklı pozitif tam sayı değerlerinin sayısı 3'tür.
İfadenin pay kısmı (x−2)2(x-2)^2 şeklinde yazıldığında x=2x = 2 çift katlı kök olur. Paydanın kökü ise x=5x = 5'tir. İşaret tablosu yapıldığında, en sağdan pozitif işaretle başlanır, x=5x = 5 kökünde işaret negatif olur ve x=2x = 2 çift katlı kökünde işaret değişmeden negatif kalır. Eşitsizlik sıfırdan kesin küçük (<0< 0) arandığı için sıfır yapan x=2x = 2 değeri çözüm kümesinden atılır. Dolayısıyla çözüm kümesi (−∞,5)∖{2}(-\infty, 5) \setminus \{2\} olur. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar 1, 3 ve 4 olmak üzere toplamda 3 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki pay kısmını çarpanlarına ayırın.
x2−4x+4=(x−2)2x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 elde edilir.
Eşitsizliğin köklerini ve bu köklerin katlılık durumunu belirlemek için ifadeleri çarpanlarına ayırmamız gerekir.
2
Pay ve paydanın köklerini bulun.
Payın kökü: (x−2)2=0⇒x=2(x-2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2 (çift katlı kök). Paydanın kökü: x−5=0⇒x=5x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 (tek katlı kök).
İşaret tablosu oluşturabilmek için eşitsizliği sıfır veya tanımsız yapan tüm kritik noktaları bulmalıyız.
3
İşaret tablosunu oluşturun ve eşitsizliğin işaretini inceleyin.
Baş katsayılar pozitif olduğu için tablonun en sağından ++ ile başlanır. x=5x = 5 tek katlı kökünden geçerken işaret −- olur. x=2x = 2 çift katlı kökünden geçerken işaret de��işmez ve −- olarak kalır.
Çift katlı köklerde işaretin değişmediği kuralı uygulanarak ifadenin hangi aralıklarda negatif olduğu belirlenir.
4
Çözüm kümesini yazın ve pozitif tam sayıları belirleyin.
Eşitsizlik <0< 0 (kesin küçük) olduğu için sıfıra eşit olan x=2x = 2 değeri ve paydayı sıfır yapan x=5x = 5 değeri çözüm kümesine alınmaz. Çözüm kümesi: (−∞,5)∖{2}(-\infty, 5) \setminus \{2\} olur. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar: 1,3,41, 3, 4 olmak üzere 3 tanedir.
Bulunan işaret aralığından, eşitsizlik kesin küçüktür şeklinde verildiği için köklerin ve tanımsızlık noktalarının çıkarılması gerekir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden rasyonel eşitsizliklerde çift katlı köklerin ve payda köklerinin işaret tablosundaki davranışları ve çözüm kümesine dahil edilme durumları.
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi