Examkin

Soru

Zorluk: Zorİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
f(x)=(m−2)x2−2(m−2)x+m−5f(x) = (m-2)x^2 - 2(m-2)x + m - 5
üçterimlisi her xx gerçel sayısı için negatif değerler almaktadır.
Buna göre,
g(x)=x2−mx+m+3≤0g(x) = x^2 - mx + m + 3 \le 0
eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi boş küme olmadığına göre, mm parametresinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
  1. A
    -3
  2. -2Cevap
  3. C
    1
  4. D
    5
  5. E
    6

Cevap

En büyük tam sayı değeri −2-2'dir.
Verilen f(x)f(x) ifadesinin her xx için negatif olması m<2m < 2 koşulunu gerektirir. g(x)≤0g(x) \le 0 eşitsizliğinin çözüm kümesinin boş kümeden farklı olması ise diskriminantın sıfırdan büyük veya eşit olmasını gerektirir, bu da m≤−2m \le -2 veya m≥6m \ge 6 aralığını verir. Bu iki koşulun kesişimi alındığında m≤−2m \le -2 aralığı elde edilir ve bu aralıktaki en büyük tam sayı değeri −2-2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)<0f(x) < 0 koşulunun her xx gerçel sayısı için sağlanması için gerekli şartları belirleme.
m<2m < 2 aralığı elde edilir.
Bir ikinci dereceden ifadenin daima negatif olması için başkatsayısının negatif (m−2<0  ⟹  m<2m-2 < 0 \implies m < 2) ve diskriminantının negatif (Δf<0  ⟹  12(m−2)<0  ⟹  m<2\Delta_f < 0 \implies 12(m-2) < 0 \implies m < 2) olması gerekir.
2
g(x)≤0g(x) \le 0 eşitsizliğinin çözüm kümesinin boş küme olmaması koşulunu belirleme.
m≤−2m \le -2 veya m≥6m \ge 6 aralığı elde edilir.
Başkatsayısı pozitif olan parabolün ≤0\le 0 olduğu bir aralığın bulunması için parabolün x eksenini kesmesi veya teğet olması, dolayısıyla Δg≥0\Delta_g \ge 0 olması gerekir. Buradan m2−4m−12≥0  ⟹  (m−6)(m+2)≥0m^2 - 4m - 12 \ge 0 \implies (m-6)(m+2) \ge 0 elde edilir.
3
Elde edilen mm aralıklarının kesişimini alarak en büyük tam sayı değerini bulma.
m≤−2m \le -2 aralığından en büyük tam sayı değeri −2-2 bulunur.
m<2m < 2 ile (−∞,−2]∪[6,∞)(-\infty, -2] \cup [6, \infty) kümelerinin kesişim kümesi (−∞,−2](-\infty, -2] aralığıdır. Bu aralıkta yer alan en büyük tam sayı değeri −2-2'dir.

Anahtar Kavram

��kinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde daima sağlanma ve çözüm kümesinin varlığı koşullarının diskriminant ve başkatsayı işaretleri kullanılarak incelenmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi