Bir (a_n) gerçel sayı dizisinde, a_1 = 6 ve her n \geq 1 tam sayısı için a_{n+1} = \frac{n… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir

(a_n)

gerçel sayı dizisinde,

a_1 = 6

ve her

n \geq 1

tam sayısı için

a_{n+1} = \frac{n}{n+2} \cdot a_n

indirgeme bağıntısı tanımlanıyor.

Buna göre, $\frac{1}{a_{15}}$ değeri kaçtır?

Cevap: 20

İstenen değer 20 olarak bulunur.

İndirgemeli dizide ardışık terimlerin oranı teleskopik çarpım yöntemiyle sadeleştirildiğinde,

a_1 = 6

başlangıç koşulu yardımıyla

a_{15} = \frac{1}{20}

olarak elde edilir. Bu değerin çarpmaya göre tersi alındığında doğru sonuç 20 olur.

İndirgeme bağıntısında

n

yerine sırasıyla

1, 2, 3, \dots, 14

yazarak terimler arasındaki ilişkileri belirleyin.

n=1

için

a_2 = \frac{1}{3} a_1

n=2

için

a_3 = \frac{2}{4} a_2

n=3

için

a_4 = \frac{3}{5} a_3

\dots

n=14

için

a_{15} = \frac{14}{16} a_{14}

elde edilir.

Dizinin terimlerini birbirine bağlayan eşitlikleri taraf tarafa çarparak teleskopik sadeleştirme yapabilmek için.

Elde edilen 14 adet eşitliği taraf tarafa çarpın.

a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \dots a_{15} = \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{3}{5} \dots \frac{14}{16}\right) a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \dots a_{14}

eşitliğinden

a_2, a_3, \dots, a_{14}

terimleri sadeleşerek

a_{15} = \left(\frac{1 \cdot 2}{15 \cdot 16}\right) a_1

elde edilir.

Ardışık terimlerin çarpım durumunda sadeleşmesini (teleskopik çarpım) sağlamak için.

Sadeleşme sonucunu düzenleyin ve

a_1 = 6

başlangıç değerini yerine yazarak

a_{15}

değerini hesaplayın.

a_{15} = \frac{2}{240} \cdot 6 = \frac{1}{120} \cdot 6 = \frac{1}{20}

bulunur.

a_{15}

teriminin sayısal değerine ulaşmak için.

Bizden istenen

\frac{1}{a_{15}}

ifadesinin değerini bulun.

\frac{1}{a_{15}} = \frac{1}{1/20} = 20

bulunur.

Soruda

a_{15}

yerine

\frac{1}{a_{15}}

değeri sorulduğu için.

İndirgemeli dizilerde teleskopik çarpım yöntemi kullanılarak genel veya belirli bir terimin başlangıç terimi cinsinden bulunması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru