Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonu, x \neq 2 için f(x) = \int \frac{3x^3 - 6x^2}{x - 2} \, dx \neşitliğini sağlamaktadır. f(2) = 10 olduğuna göre, f(1) değeri kaçtır?

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonu, x \neq 2 için f(x) = \int \f… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve sürekli bir $f$ fonksiyonu, $x \neq 2$ için

f(x) = \int \frac{3x^3 - 6x^2}{x - 2} \, dx

eşitliğini sağlamaktadır.

$f(2) = 10$ olduğuna göre, $f(1)$ değeri kaçtır?

Doğru cevap 3 değeridir.

Verilen rasyonel ifade sadeleştirilip integral kuralları uygulandığında

f(x) = x^3 + C

elde edilir. Süreklilik gereği

f(2) = 10

olduğundan

C = 2

bulunur. Buradan

f(x) = x^3 + 2

kuralına ulaşılır ve

f(1) = 3

olarak hesaplanır.

İntegralin içindeki rasyonel ifadeyi sadeleştirelim.

x \neq 2

için

\frac{3x^3 - 6x^2}{x - 2} = \frac{3x^2(x - 2)}{x - 2} = 3x^2

elde edilir.

İntegral alma işlemini kolaylaştırmak amacıyla cebirsel sadeleştirme yapılır.

Sadeleşen ifadenin belirsiz integralini alalım.

f(x) = \int 3x^2 \, dx = x^3 + C

bulunur.

Belirsiz integral alma kuralları uygulanır.

f(2) = 10

sınır koşulunu kullanarak integral sabitini (

C

) hesaplayalım.

f(2) = 2^3 + C = 10 \Rightarrow 8 + C = 10 \Rightarrow C = 2

bulunur.

Sürekli bir fonksiyonun verilen noktadaki değeri kullanılarak bilinmeyen integral sabiti belirlenir.

Fonksiyon denkleminde

x = 1

yazarak istenen değeri bulalım.

f(1) = 1^3 + 2 = 3

elde edilir.

Fonksiyonun kuralı tam olarak belirlendikten sonra istenen noktadaki değeri hesaplanır.

Rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi ve temel belirsiz integral alma kuralları.

Tahmini Süre:1m 30s