Examkin

Soru

Zorluk: ZorLimit Özellikleri ve Limit Hesaplama Teknikleri
f(x)=∣cos⁡(2x)+cos⁡x∣2cos⁡2x−cos⁡xf(x) = \frac{|\cos(2x) + \cos x|}{2\cos^2x - \cos x}

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre,

lim⁡x→π3+f(x)−lim⁡x→π3−f(x)\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+} f(x) - \lim_{x \to \frac{\pi}{3}^-} f(x)

ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    -3
  2. -6Cevap
  3. C
    0
  4. D
    3
  5. E
    6

Cevap

Sağdan limit değeri olan -3 ile soldan limit değeri olan 3'ün farkı alındığında sonuç -6 olarak bulunur.
Sağdan limit incelenirken kosinüs fonksiyonunun azalan olması nedeniyle mutlak değerin içi negatif olur ve ifade dışarıya işaret değiştirerek çıkar. Sadeleştirme sonucunda sağdan limit -3 bulunur. Soldan limit incelenirken kosinüsün değeri 1/2'den büyük olacağı için mutlak değer içi pozitif kalır ve limit 3 olarak hesaplanır. Bu iki limit değerinin farkı -3 - 3 = -6 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik özdeşlik kullanarak pay kısmındaki ifadeyi kosinüs cinsinden yazın.
cos⁡(2x)+cos⁡x=(2cos⁡2x−1)+cos⁡x=2cos⁡2x+cos⁡x−1\cos(2x) + \cos x = (2\cos^2x - 1) + \cos x = 2\cos^2x + \cos x - 1
Pay ve paydadaki ortak çarpanları belirlemek için ifadeyi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Pay ve paydadaki ifadeleri çarpanlarına ayırın.
Pay: (2cos⁡x−1)(cos⁡x+1)(2\cos x - 1)(\cos x + 1), Payda: cos⁡x(2cos⁡x−1)\cos x(2\cos x - 1)
Belirsizliğe yol açan ortak çarpanı sadeleştirmek amacıyla çarpanlara ayırma işlemi uygulanır.
3
x, pi/3 değerine sağdan yaklaşırken limit değerini hesaplayın.
lim⁡x→π3+f(x)=−3\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+} f(x) = -3
x>π3x > \frac{\pi}{3} iken, birinci bölgede kosinüs fonksiyonu azalan olduğundan cos⁡x<12\cos x < \frac{1}{2} olur. Dolayısıyla 2cos⁡x−1<02\cos x - 1 < 0'dır. Mutlak değerin içi negatif olduğundan işaret değiştirerek çıkar ve sadeleşme sonrası limit −3-3 bulunur.
4
x, pi/3 değerine soldan yaklaşırken limit değerini hesaplayın.
lim⁡x→π3−f(x)=3\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^-} f(x) = 3
x<π3x < \frac{\pi}{3} iken cos⁡x>12\cos x > \frac{1}{2} olur. Dolayısıyla 2cos⁡x−1>02\cos x - 1 > 0'dır. Mutlak değerin içi pozitif olduğundan aynen çıkar ve sadeleşme sonrası limit 33 bulunur.
5
Sağdan ve soldan limitlerin farkını bulun.
lim⁡x→π3+f(x)−lim⁡x→π3−f(x)=−3−3=−6\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+} f(x) - \lim_{x \to \frac{\pi}{3}^-} f(x) = -3 - 3 = -6
Soruda istenen fark ifadesini hesaplamak için elde edilen limit değerleri yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik limit hesaplama, mutlak değerli limitler ve sağdan/soldan limit kavramlarının analizi.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Limit Özellikleri ve Limit Hesaplama Teknikleri

Bu konudan daha fazla soru