Examkin

Soru

Zorluk: ZorGeometrik Dizi ve Özellikleri

Aşağıdaki ifadede boş bırakılan yerleri uygun sayılarla doldurunuz.

Cevap:Her terimi pozitif olan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ortak çarpanı r>1r > 1'dir. Bu dizide
a7−a1a5−a3=72\frac{a_7 - a_1}{a_5 - a_3} = \frac{7}{2}
a2⋅a8=32a_2 \cdot a_8 = 32
olduğuna göre, dizinin ortak çarpanının karesi r2=r^2 = 【2】 ve dördüncü terimi a4=a_4 = 【4】 olur.

Cevap

Dizinin ortak ��arpanının karesi r2=2r^2 = 2 ve dördüncü terimi a4=4a_4 = 4'tür.
Dizinin terimleri genel terim formülüyle ifade edilip oranlandığında r2+1+1/r2=7/2r^2 + 1 + 1/r^2 = 7/2 denklemi elde edilir. Bu denklemin r>1r > 1 koşulunu sağlayan kökü r2=2r^2 = 2'dir. Ardından a2⋅a8=a42⋅r2=32a_2 \cdot a_8 = a_4^2 \cdot r^2 = 32 eşitliğinde r2r^2 yerine 2 yazılarak a42=16a_4^2 = 16 ve terimler pozitif olduğu için a4=4a_4 = 4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Terimleri genel terim formülü kullanarak a1a_1 ve rr cinsinden yazma.
a7−a1=a1(r6−1)a_7 - a_1 = a_1(r^6 - 1) ve a5−a3=a1(r4−r2)=a1r2(r2−1)a_5 - a_3 = a_1(r^4 - r^2) = a_1 r^2(r^2 - 1) elde edilir.
Orandaki terimleri sadeleştirebilmek için hepsini ortak bir tabanda ifade etmeliyiz.
2
Elde edilen ifadeleri oranlama ve çarpanlara ayırma yöntemiyle sadeleştirme.
a1(r6−1)a1r2(r2−1)=r6−1r2(r2−1)=(r2−1)(r4+r2+1)r2(r2−1)=r4+r2+1r2=r2+1+1r2\frac{a_1(r^6 - 1)}{a_1 r^2(r^2 - 1)} = \frac{r^6 - 1}{r^2(r^2 - 1)} = \frac{(r^2 - 1)(r^4 + r^2 + 1)}{r^2(r^2 - 1)} = \frac{r^4 + r^2 + 1}{r^2} = r^2 + 1 + \frac{1}{r^2} bulunur.
r6−1r^6 - 1 ifadesini iki kare farkı veya iki küp farkı mantığıyla (r2−1)(r4+r2+1)(r^2 - 1)(r^4 + r^2 + 1) olarak çarpanlarına ayırarak paydadaki (r2−1)(r^2 - 1) ile sadeleştiririz.
3
Sadeleşmiş ifadeyi 72\frac{7}{2}'ye eşitleyip r2r^2 değerini bulma.
r2+1+1r2=72  ⟹  r2+1r2=52r^2 + 1 + \frac{1}{r^2} = \frac{7}{2} \implies r^2 + \frac{1}{r^2} = \frac{5}{2} olur. Buradan r2=2r^2 = 2 veya r2=12r^2 = \frac{1}{2} elde edilir.
u=r2u = r^2 değişken değiştirmesi yapıldığında u+1u=52  ⟹  2u2−5u+2=0  ⟹  (2u−1)(u−2)=0u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2} \implies 2u^2 - 5u + 2 = 0 \implies (2u - 1)(u - 2) = 0 denklemi çözülür.
4
r>1r > 1 koşulunu kullanarak uygun r2r^2 değerini seçme.
r2=2r^2 = 2 olur.
r>1r > 1 ise r2>1r^2 > 1 olmalıdır. Dolayısıyla r2=2r^2 = 2 değeri seçilir, 12\frac{1}{2} elenir.
5
İkinci denklem yardımıyla a4a_4 terimini hesaplama.
a2⋅a8=(a4⋅r−2)⋅(a4⋅r4)=a42⋅r2=32a_2 \cdot a_8 = (a_4 \cdot r^{-2}) \cdot (a_4 \cdot r^4) = a_4^2 \cdot r^2 = 32 olur. r2=2r^2 = 2 yazıldığında a42⋅2=32  ⟹  a42=16  ⟹  a4=4a_4^2 \cdot 2 = 32 \implies a_4^2 = 16 \implies a_4 = 4 bulunur.
Geometrik dizinin indis özellikleri gereği a2⋅a8=a4⋅a6=a42⋅r2a_2 \cdot a_8 = a_4 \cdot a_6 = a_4^2 \cdot r^2 yazılabilir. Tüm terimler pozitif olduğundan a4=4a_4 = 4 olarak belirlenir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide terimlerin genel terim cinsinden yazılması, oranlanması ve indis özelliklerinin uygulanması
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Dizi ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru