Examkin

Soru

Zorluk: OrtaGeometrik Dizi ve Özellikleri

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin terimleri pozitif gerçek sayılardır ve bu dizi artandır. Dizinin terimleri arasında,

a4⋅a8=1600a_4 \cdot a_8 = 1600
1a5+1a7=116\frac{1}{a_5} + \frac{1}{a_7} = \frac{1}{16}

bağıntıları bulunmaktadır. Buna göre, bu dizinin üçüncü terimi (a3a_3) kaçtır?

Cevap: 5

Cevap

Dizinin üçüncü terimi 5'tir.
Dizi terimlerinin indis ilişkisinden a5⋅a7=1600a_5 \cdot a_7 = 1600 bulunur. Rasyonel denklemde payda eşitlendiğinde a5+a7=100a_5 + a_7 = 100 elde edilir. Bu iki eşitlikten, dizinin artan olduğu da dikkate alınarak a5=20a_5 = 20 ve a7=80a_7 = 80 olarak bulunur. Buradan ortak çarpan r=2r = 2 ve üçüncü terim a3=5a_3 = 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Terimlerin indis ilişkisini kullanarak a5⋅a7a_5 \cdot a_7 çarpımını bulma.
a5⋅a7=1600a_5 \cdot a_7 = 1600
Geometrik dizilerde i+j=k+li+j=k+l ise ai⋅aj=ak⋅ala_i \cdot a_j = a_k \cdot a_l özelliğinden dolayı 4+8=5+7=124+8 = 5+7 = 12 olup a5⋅a7=a4⋅a8=1600a_5 \cdot a_7 = a_4 \cdot a_8 = 1600 olur.
2
Verilen rasyonel denklemi düzenleyerek terimlerin toplam��nı bulma.
a5+a7=100a_5 + a_7 = 100
Payda eşitleme yapıldığında a5+a7a5⋅a7=116\frac{a_5 + a_7}{a_5 \cdot a_7} = \frac{1}{16} elde edilir. Çarpım yerine 16001600 yazıldığında toplam 100100 olarak bulunur.
3
Toplamları ve çarpımları bilinen terimleri bulmak için ikinci dereceden denklem çözme.
a5=20a_5 = 20 ve a7=80a_7 = 80
Kökleri a5a_5 ve a7a_7 olan denklem x2−100x+1600=0x^2 - 100x + 1600 = 0 şeklindedir. Çarpanlara ayırma ile (x−20)(x−80)=0(x-20)(x-80) = 0 elde edilir. Dizi artan olduğundan a5=20a_5 = 20 ve a7=80a_7 = 80 olmalıdır.
4
Dizinin ortak çarpanını (rr) bulma.
r=2r = 2
a7=a5⋅r2a_7 = a_5 \cdot r^2 eşitliğinden 80=20⋅r2  ⟹  r2=480 = 20 \cdot r^2 \implies r^2 = 4 ve terimler pozitif olduğu için r=2r = 2 bulunur.
5
Dizinin üçüncü terimini (a3a_3) hesaplama.
a3=5a_3 = 5
a5=a3⋅r2a_5 = a_3 \cdot r^2 eşitliğinde değerler yerine yazıldığında 20=a3⋅4  ⟹  a3=520 = a_3 \cdot 4 \implies a_3 = 5 elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde terimlerin indis özellikleri ve terimler arası ilişkiler.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Dizi ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru