Examkin

Soru

Zorluk: ZorParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Aşağıda sol sütunda parametrik olarak verilen parabol denklemleri ile sağ sütunda bu parabollerin koordinat eksenlerini kestiği noktaların geometrik özellikleri karışık olarak verilmiştir.

Buna göre, sol sütundaki her bir parabolü, koordinat eksenlerini kestiği noktaların sağ sütunda verilen doğru özelliği ile eşleştiriniz.

  • f(x)=x2−(a+3)x+3af(x) = x^2 - (a+3)x + 3a (a>3a > 3 bir gerçel sayı) parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktalarx-eksenini kestiği noktalardan birinin orijine olan uzaklığı, parametre değerinden bağımsız olarak 3 birimdir.
  • g(x)=x2−2bx+b2−9g(x) = x^2 - 2bx + b^2 - 9 (b>3b > 3 bir gerçel sayı) parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktalarx-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık, parametre değerinden bağımsız olarak 6 birimdir.
  • h(x)=−x2+(c−1)x+ch(x) = -x^2 + (c-1)x + c (c>1c > 1 bir gerçel sayı) parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktalary-eksenini kestiği noktanın orijine olan uzaklığı, x-eksenini kestiği pozitif apsisli noktanın orijine olan uzaklığına eşittir.

Cevap

Birinci parabol, x-eksenini kesti��i noktalardan birinin orijine uzaklığının parametre değerinden bağımsız 3 birim olması özelliğiyle; ikinci parabol, x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklığın parametre değerinden bağımsız 6 birim olması özelliğiyle; üçüncü parabol ise y-eksenini kestiği noktanın orijine uzaklığının x-eksenini kestiği pozitif apsisli noktanın orijine uzaklığına eşit olması özelliğiyle eşleşir.
Verilen fonksiyonların her biri sıfıra eşitlenerek xx-eksenini kestikleri noktalar ve x=0x=0 yazılarak yy-eksenini kestikleri noktalar bulunmuştur. Elde edilen noktalar üzerinde yapılan geometrik uzaklık hesaplamaları, verilen özelliklerle birebir ve benzersiz bir şekilde eşleşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−(a+3)x+3af(x) = x^2 - (a+3)x + 3a parabolünün eksenleri kestiği noktaları bulma.
yy-eksenini kestiği nokta (0,3a)(0, 3a)'dır. xx-eksenini kestiği noktaları bulmak için fonksiyon sıfıra eşitlenir: x2−(a+3)x+3a=0  ⟹  (x−a)(x−3)=0  ⟹  x1=3,x2=ax^2 - (a+3)x + 3a = 0 \implies (x-a)(x-3) = 0 \implies x_1 = 3, x_2 = a. Kesim noktaları (3,0)(3, 0) ve (a,0)(a, 0)'dır. (3,0)(3, 0) noktasının orijine uzaklığı ∣3∣=3|3| = 3 birim olup parametreden bağımsızdır. Bu durum ikinci özellik ile eşleşir.
Birinci parabolün eksen kesim noktalarını cebirsel olarak analiz etmek.
2
g(x)=x2−2bx+b2−9g(x) = x^2 - 2bx + b^2 - 9 parabolünün eksenleri kestiği noktaları bulma ve aralarındaki uzaklığı hesaplama.
yy-eksenini kestiği nokta (0,b2−9)(0, b^2-9)'dur. xx-eksenini kestiği noktalar için (x−b)2−9=0  ⟹  (x−b)2=9  ⟹  x−b=±3  ⟹  x1=b−3,x2=b+3(x-b)^2 - 9 = 0 \implies (x-b)^2 = 9 \implies x-b = \pm 3 \implies x_1 = b-3, x_2 = b+3 bulunur. Eksenleri kestiği noktalar (b−3,0)(b-3, 0) ve (b+3,0)(b+3, 0)'dır. İki nokta arasındaki uzaklık ∣(b+3)−(b−3)∣=6|(b+3) - (b-3)| = 6 birimdir. Bu değer sabittir ve üçüncü özellik ile eşleşir.
İkinci parabolün eksen kesim noktalarının birbirine olan uzaklığını parametreden bağımsız olarak belirlemek.
3
h(x)=−x2+(c−1)x+ch(x) = -x^2 + (c-1)x + c parabolünün eksenleri kestiği noktaları bulma ve orijine olan uzaklıklarını karşılaştırma.
yy-eksenini kestiği nokta (0,c)(0, c) olup orijine uzaklığı ∣c∣=c|c| = c birimdir. xx-eksenini kestiği noktalar için −x2+(c−1)x+c=0  ⟹  x2−(c−1)x−c=0  ⟹  (x−c)(x+1)=0  ⟹  x1=−1,x2=c-x^2 + (c-1)x + c = 0 \implies x^2 - (c-1)x - c = 0 \implies (x-c)(x+1) = 0 \implies x_1 = -1, x_2 = c bulunur. c>1c > 1 olduğundan pozitif apsisli kesim noktası (c,0)(c, 0)'dır ve orijine uzaklığı cc birimdir. Her iki uzaklık da eşit olup birinci özellik ile eşleşir.
Üçüncü parabolün eksenleri kestiği noktaların orijine olan uzaklıklarının ilişkisini belirlemek.

Anahtar Kavram

Parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktaların cebirsel ve geometrik analizi
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Bu konudan daha fazla soru