Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSüreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)={x2−ax+3x−3,x<3b,x=3x2−9x2−3x,x>3f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - ax + 3}{x - 3}, & x < 3 \\ b, & x = 3 \\ \frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x}, & x > 3 \end{cases}

fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğuna göre, a+ba + b toplam�� kaçtır?

  1. A
    4
  2. B
    5
  3. 6Cevap
  4. D
    8
  5. E
    10

Cevap

Süreklilik şartlarını sağlayan parametrelerin toplamı olan 6 sayısıdır.
Süreklilik tanımı gereği fonksiyonun x=3x=3 noktasındaki sağ limit, sol limit ve fonksiyon değeri birbirine eşit olmalıdır. Soldan limitin varlığı için a=4a=4 ve limit değeri 2 bulunur. Sağdan limit de sadeleştirmeler yapıldığında 2 olarak elde edilir. Dolayısıyla b=2b=2 olmalıdır. Bu durumda toplam 6 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Süreklilik koşulunu belirleme
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3+f(x)=f(3)=b\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3) = b
Bir fonksiyonun bir noktada s��rekli olması için o noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit ve fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması gerekir.
2
Soldan limit yardımıyla aa değerini bulma
a=4a = 4 ve lim⁡x→3−f(x)=2\lim_{x \to 3^-} f(x) = 2
lim⁡x→3−x2−ax+3x−3\lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 - ax + 3}{x - 3} limitinin bir gerçel sayı belirtmesi için x=3x=3 yazıldığında payın 0 olması gerekir (32−3a+3=0  ⟹  a=43^2 - 3a + 3 = 0 \implies a = 4). Değer yerine yazılıp limit alındığında lim⁡x→3−(x−3)(x−1)x−3=2\lim_{x \to 3^-} \frac{(x-3)(x-1)}{x-3} = 2 bulunur.
3
Sağdan limiti hesaplama
lim⁡x→3+f(x)=2\lim_{x \to 3^+} f(x) = 2
lim⁡x→3+x2−9x2−3x\lim_{x \to 3^+} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x} ifadesinde 0/00/0 belirsizliği giderilirse lim⁡x→3+(x−3)(x+3)x(x−3)=lim⁡x→3+x+3x=63=2\lim_{x \to 3^+} \frac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)} = \lim_{x \to 3^+} \frac{x+3}{x} = \frac{6}{3} = 2 elde edilir.
4
bb değerini ve toplamı bulma
b=2b = 2 ve a+b=6a + b = 6
Sağ ve sol limitlerin değeri 2 olduğundan süreklilik gereği f(3)=b=2f(3) = b = 2 olmalıdır. Buradan a+b=4+2=6a + b = 4 + 2 = 6 bulunur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için sağ limit, sol limit ve fonksiyon değerinin eşit olması gerekir. Rasyonel ifadelerde limit hesaplanırken belirsizlik durumları sadeleştirme yoluyla giderilir.
Bu soruyu puanla

Konular

Süreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

Bu konudan daha fazla soru