x bir gerçel sayı olmak üzere, \frac{(x^2 - x - 6)(x - 2)}{x^2 - 4} \leq 0\neşitsizliği ve… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x

bir gerçel sayı olmak üzere,

\frac{(x^2 - x - 6)(x - 2)}{x^2 - 4} \leq 0

eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, bu eşitsizliği sağlayan $x$ pozitif tam sayılar��nın toplamı kaçtır?

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamı 4'tür.

Eşitsizlik çarpanlarına ayrılıp sadeleştirildiğinde

x \leq 3

elde edilir. Ancak paydadaki çarpanlar nedeniyle

x

değeri 2 ve -2 olamaz. Bu kısıtlamalar altındaki pozitif tam sayı çözümleri sadece 1 ve 3'tür. Bu iki sayının toplamı ise 4'tür.

İfadenin pay ve paydasındaki terimleri çarpanlarına ayırın.

Pay:

(x-3)(x+2)(x-2)

, Payda:

(x-2)(x+2)

Eşitsizliğin köklerini belirlemek ve sadeleşebilecek terimleri görmek için çarpanlara ayırma yapılır.

Tanım kümesini belirleyin ve paydayı sıfır yapan değerleri hariç tutun.

x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2

x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2

Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız kılacağından çözüm kümesine dahil edilemez.

Ortak çarpanları sadeleştirerek eşitsizliği en sade haline getirin.

x \neq 2

x \neq -2

koşulu altında eşitsizlik

x - 3 \leq 0

haline gelir.

Eşitsizliğin çözümünü kolaylaştırmak amacıyla tanım kümesi kısıtlamaları saklı kalmak üzere sadeleştirme yapılır.

Eşitsizliğin çözüm kümesini yazın.

x \leq 3

x \neq 2, x \neq -2 \implies

Çözüm Kümesi =

(-\infty, 3] \setminus \{-2, 2\}

Sadeleştirilmiş eşitsizlikten elde edilen aralık ile başlangıçtaki tanımsızlık koşulları birleştirilerek nihai çözüm kümesi elde edilir.

Çözüm kümesindeki pozitif tam sayıları belirleyin ve toplayın.

Pozitif tam sayılar: 1 ve 3. Toplam:

1 + 3 = 4

Kümelerdeki pozitif tam sayılar (

1, 2, 3

) arasından tanımsızlık yapan 2 değeri çıkarılarak kalan değerler toplanır.

Rasyonel ikinci dereceden eşitsizliklerde sadeleştirme yapılırken paydanın köklerinin çözüm kümesine dahil edilmemesi kuralı.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru