Examkin

Soru

Zorluk: ZorLimitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)
lim⁡x→01−cos⁡(x)cos⁡(2x)x2\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)\sqrt{\cos(2x)}}{x^2} ifadesinin değeri 32\frac{3}{2}'dir.

Cevap: Cevap

Cevap

İfade doğrudur. Verilen limitin değeri 3/2'dir.
Verilen limit ifadesinde eşlenik çarpımı ve yarım açı formülleri doğru bir şekilde uygulandığında belirsizlik giderilmekte ve limit değeri 3/2 olarak elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirsizlik durumunun belirlenmesi
Limit ifadesinde x=0x = 0 yazıldığında 00\frac{0}{0} belirsizliği elde edilir.
Limitte doğrudan yerine yazma yöntemi belirsizlik türünü tespit etmek için uygulanır.
2
Payın eşlenik yardımıyla rasyonelleştirilmesi
Pay ve payda 1+cos⁡(x)cos⁡(2x)1 + \cos(x)\sqrt{\cos(2x)} ile çarpılarak limit ifadesi lim⁡x→01−cos⁡2(x)cos⁡(2x)x2(1+cos⁡(x)cos⁡(2x))\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2(x)\cos(2x)}{x^2(1 + \cos(x)\sqrt{\cos(2x)})} şekline dönüştürülür.
Kareköklü ifadelerin oluşturduğu belirsizlikleri gidermek için eşlenik çarpımı kullanılır.
3
Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla payın sadeleştirilmesi
cos⁡(2x)=2cos⁡2(x)−1\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 dönüşümüyle pay ifadesi 1−2cos⁡4(x)+cos⁡2(x)=(1−cos⁡2(x))(1+2cos⁡2(x))=sin⁡2(x)(1+2cos⁡2(x))1 - 2\cos^4(x) + \cos^2(x) = (1 - \cos^2(x))(1 + 2\cos^2(x)) = \sin^2(x)(1 + 2\cos^2(x)) olur.
Belirsizliğe neden olan çarpanları ortaya çıkarmak için yarım açı ve temel özdeşlikler uygulanır.
4
Limit değerinin hesaplanması
lim⁡x→0sin⁡2(x)x2⋅1+2cos⁡2(x)1+cos⁡(x)cos⁡(2x)=1⋅32=32\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{x^2} \cdot \frac{1 + 2\cos^2(x)}{1 + \cos(x)\sqrt{\cos(2x)}} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} elde edilir.
lim⁡x→0sin⁡(x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 temel limit özelliği ve sürekli fonksiyonların limit özellikleri kullanılır.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliğinde eşlenik çarpımı ve trigonometrik yarım açı formülleri kullanarak belirsizliğin giderilmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Limitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)

Bu konudan daha fazla soru