Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

aa ve bb birer tam sayı olmak üzere,

x2−(a+b)x+ab≤0x^2 - (a+b)x + ab \le 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının kümesi AA,
x2−(a−b)x−ab≤0x^2 - (a-b)x - ab \le 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının kümesi BB'dir.

A∩B={3}A \cap B = \{3\} ve AA kümesinin eleman sayısı 8 olduğuna göre, bb tam sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

  1. A
    -55
  2. B
    -50
  3. -40Cevap
  4. D
    -30
  5. E
    10

Cevap

b tam sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı -40'tır.
Ortak sınır noktası a = 3 olarak belirlendikten sonra, b'nin pozitif olduğu durumda [3, b] aralığında 8 tam sayı bulunması için b = 10 olmalıdır. b'nin negatif olduğu durumda [b, 3] aralığında 8 tam sayı bulunması için b = -4 olmalıdır. Bu iki değerin çarpımı -40'tır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliklerin sol tarafındaki ifadeleri çarpanlarına ayırma.
x2−(a+b)x+ab=(x−a)(x−b)≤0x^2 - (a+b)x + ab = (x-a)(x-b) \le 0 ve x2−(a−b)x−ab=(x−a)(x+b)≤0x^2 - (a-b)x - ab = (x-a)(x+b) \le 0 elde edilir.
Eşitsizliklerin köklerini bulmak ve işaret tablosunu oluşturmak için çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır.
2
Çözüm kümelerinin kesişimini analiz etme.
Birinci eşitsizliğin çözüm aralığı aa ve bb kökleri arasında, ikinci eşitsizliğin ise aa ve −b-b kökleri arasındadır. Kesişim kümesinin yalnızca {3}\{3\} tekil kümesi olabilmesi için ortak kök olan aa değerinin 3 olması gerekir (a=3a = 3). Ayrıca aralıklar 3 noktasından zıt yönlere doğru uzanmalıdır.
Kesişim k��mesinde sadece tek bir tam sayı bulunması, ortak uç değerin bu sayı olmasını ve aralıkların zıt yönlere yayılmasını gerektirir.
3
b tam sayısının pozitif olduğu durumu inceleme.
b>3b > 3 ise A kümesi [3,b][3, b] aralığındaki tam sayılardır. Eleman sayısı 8 olduğundan b−3+1=8  ⟹  b=10b - 3 + 1 = 8 \implies b = 10 bulunur. Bu durumda B kümesi [−10,3][-10, 3] olur ve kesişimleri yalnızca {3}\{3\} kümesini verir.
A kümesinin eleman sayısı formülü kullanılarak pozitif b değeri elde edilir.
4
b tam sayısının negatif olduğu durumu inceleme.
b<−3b < -3 ise A kümesi [b,3][b, 3] aralığındaki tam sayılardır. Eleman sayısı 8 olduğundan 3−b+1=8  ⟹  b=−43 - b + 1 = 8 \implies b = -4 bulunur. Bu durumda B kümesi [3,4][3, 4] olur ve kesişimleri yine yalnızca {3}\{3\} kümesini verir.
b değerinin negatif olabileceği simetrik durum göz önüne alınarak diğer olası değer hesaplanır.
5
Elde edilen b değerlerinin çarpımını hesaplama.
10×(−4)=−4010 \times (-4) = -40 bulunur.
b'nin alabileceği farklı değerlerin çarpımı hesaplanır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerin çarpanlara ayrılarak işaret tablosunun incelenmesi ve çözüm aralıklarının kesişim kümesinin bulunması.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi