Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir f fonksiyonunun türevi f' olmak üzere, h… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir

f

fonksiyonunun türevi

f'

olmak üzere, her

x

gerçel sayısı için

f'(x) = \frac{x^4 - 1}{x^2 + 1} - 2x

eşitliği verilmiştir.

f(3) = 2

olduğuna göre,

f(0)

değeri kaçtır?

Doğru cevap 5 değeridir.

Verilen türev fonksiyonu sadeleştirildiğinde

f'(x) = x^2 - 2x - 1

elde edilir. Bu ifadenin belirsiz integrali alındığında

f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 - x + C

fonksiyonuna ulaşılır.

f(3) = 2

sınır koşulu yerine yazıldığında

-3 + C = 2

denkleminden

C = 5

bulunur. Fonksiyonda

x = 0

yazıldığında

f(0) = C

olduğundan, doğru cevap 5 değeridir.

f'(x)

ifadesini sadeleştirmek amacıyla pay kısmındaki iki kare farkı özdeşliğini kullanırız.

f'(x) = \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{x^2 + 1} - 2x = x^2 - 2x - 1

İntegral alma işlemini kolaylaştırmak için rasyonel ifadeyi sadeleştirmemiz gerekir.

f'(x)

fonksiyonunun belirsiz integralini alarak

f(x)

fonksiyonunu elde ederiz.

f(x) = \int (x^2 - 2x - 1) \, dx = \frac{x^3}{3} - x^2 - x + C

Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmak için belirsiz integral alma kuralları uygulanır.

f(3) = 2

koşulunu kullanarak integral sabiti

C

'yi hesaplarız.

f(3) = \frac{3^3}{3} - 3^2 - 3 + C = 9 - 9 - 3 + C = -3 + C = 2 \implies C = 5

Belirli bir noktadaki fonksiyon değeri yardımıyla integral sabiti belirlenir.

f(0)

değerini bulmak için fonksiyonda

x = 0

yazarız.

f(0) = \frac{0^3}{3} - 0^2 - 0 + 5 = 5

Elde edilen

f(x)

fonksiyonunun

x = 0

noktasındaki değeri doğrudan integral sabiti olan

C

'ye eşittir.

Belirsiz integral alma kuralları ve integral sabiti bulma

Tahmini Süre:2m 0s

Soru