Bir f fonksiyonu, x \neq 0 olmak üzere, f(x) = \int \frac{2x^2 - 2x}{x} \, dx\neşitliğini sağlamaktadır. f(2) = 5 olduğuna göre, f(1) değeri kaçtır?

Bir f fonksiyonu, x \neq 0 olmak üzere, f(x) = \int \frac{2x^2 - 2x}{x} \, dx\neşitliğini … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir

f

fonksiyonu,

x \neq 0

olmak üzere,

f(x) = \int \frac{2x^2 - 2x}{x} \, dx

eşitliğini sağlamaktadır.

f(2) = 5

olduğuna göre,

f(1)

değeri kaçtır?

İstenen değer olan 4 sayısıdır.

İntegral içerisindeki ifade sadeleştirilip

2x - 2

biçimine getirildikten sonra belirsiz integrali alınarak

f(x) = x^2 - 2x + C

kuralı bulunur. Verilen

f(2) = 5

koşulu kullanıldığında integral sabiti

C = 5

olarak elde edilir. Bu kuralda

x = 1

yazıldığında fonksiyon değeri 4 olarak hesaplanır.

İntegral içerisindeki rasyonel ifadeyi sadeleştirelim.

x \neq 0

için

\frac{2x^2 - 2x}{x} = \frac{2x(x - 1)}{x} = 2x - 2

olur.

İntegral alma işlemini kolaylaştırmak amacıyla pay ve paydadaki ortak terimleri sadeleştiririz.

Elde edilen ifadenin belirsiz integralini hesaplayalım.

f(x) = x^2 - 2x + C

(burada

C

integral sabitidir)

Polinom fonksiyonların integral alma kurallarını uygularız.

f(2) = 5

eşitliğini kullanarak

C

integral sabitini belirleyelim.

f(2) = 2^2 - 2(2) + C = 5 \implies 4 - 4 + C = 5 \implies C = 5

bulunur. Buradan

f(x) = x^2 - 2x + 5

kuralına ulaşılır.

Fonksiyonun tek bir kural belirtmesi için verilen sınır koşulunu kullanarak integral sabitini buluruz.

f(x)

fonksiyonunda

x = 1

yazarak istenen değeri hesaplayalım.

f(1) = 1^2 - 2(1) + 5 = 1 - 2 + 5 = 4

elde edilir.

Soruda bizden istenen

f(1)

değerini bulmak için fonksiyon kuralını uygularız.

Belirsiz integral alma kuralları ve integral sabitinin bulunması