Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSüreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff ve gg fonksiyonlarından ff fonksiyonu tüm gerçel sayılarda sürekli iken gg fonksiyonu yalnızca x=3x = 3 noktasında süreksizdir. Buna göre, (g∘f)(x)(g \circ f)(x) bileşke fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaların sayısı en fazla 1'dir ifadesi doğru mudur?

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade yanlıştır.
Verilen ifade yanlıştır çünkü sürekli bir ff fonksiyonu için f(x)=3f(x) = 3 eşitliğini sağlayan birden fazla xx gerçel sayısı bulunabilir. Bu durumda, dıştaki gg fonksiyonunun süreksizlik noktası olan 33 değeri, bileşke fonksiyonda birden fazla süreksizlik noktasına yol açar.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun süreksizlik adaylarını belirleme
(g∘f)(x)(g \circ f)(x) fonksiyonunun süreksiz olabileceği noktalar, dıştaki gg fonksiyonunun süreksiz olduğu değerleri üreten içteki f(x)f(x) değerlerinde veya ff fonksiyonunun kendisinin süreksiz olduğu noktalarda aranır.
Bileşke fonksiyonun tanımı gereği, içteki fonksiyon sürekli olsa bile görüntüsü dıştaki fonksiyonun süreksizlik noktasına eşit olduğunda bileşke fonksiyon süreksiz olabilir.
2
f(x)=3f(x) = 3 denkleminin çözümlerini inceleme
ff fonksiyonu sürekli bir fonksiyon olduğundan, f(x)=3f(x) = 3 eşitliğini sağlayan birden fazla xx değeri bulunabilir.
f(x)f(x) bire bir olmak zorunda değildir; dolayısıyla xx ekseni üzerindeki birden fazla nokta y=3y = 3 değerine gidebilir.
3
Karşıt örnek oluşturarak ifadenin doğruluğunu test etme
f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 sürekli fonksiyonunu ve g(x)={1,x≠30,x=3g(x) = \begin{cases} 1, & x \neq 3 \\ 0, & x = 3 \end{cases} fonksiyonunu seçelim. Bu durumda (g∘f)(x)(g \circ f)(x) fonksiyonu x=2x = 2 ve x=−2x = -2 noktalarında süreksiz olur.
f(2)=3f(2) = 3 ve f(−2)=3f(-2) = 3 olup, gg fonksiyonu 33 noktasında süreksiz olduğundan bileşke fonksiyon iki farklı noktada süreksiz olmuştur. Bu da ifadenin her zaman doğru olmadığını, yani yanlış olduğunu kanıtlar.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların sürekliliği ve süreksizlik noktalarının belirlenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Süreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

Bu konudan daha fazla soru